ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите скалярное произведение \((2\vec{a} — 3\vec{b})(\vec{a} — 2\vec{b})\), если \(\vec{a} = (2; -1; -2)\), \(\vec{b} = (4; -3; 2)\).

Раскроем скалярное произведение: \( (2\vec{a} — 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} — 2\vec{b}) = 2\vec{a}^2 — 4\vec{a} \cdot \vec{b} — 3\vec{b} \cdot \vec{a} + 6\vec{b}^2 \).

Упростим, учитывая коммутативность скалярного произведения: \(= 2\vec{a}^2 — 7\vec{a} \cdot \vec{b} + 6\vec{b}^2\).

Вычислим: \( \vec{a}^2 = 2^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 9 \), \( \vec{b}^2 = 4^2 + (-3)^2 + 2^2 = 29 \), \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 4 + (-1) \cdot (-3) + (-2) \cdot 2 = 7 \).

Подставим: \( 2 \cdot 9 — 7 \cdot 7 + 6 \cdot 29 = 18 — 49 + 174 = 143 \).

Ответ: \(143\).

Рассмотрим выражение \( (2\vec{a} — 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} — 2\vec{b}) \). Для начала раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения. Оно распределяется по сложению, поэтому получаем сумму произведений: \( 2\vec{a} \cdot \vec{a} — 4\vec{a} \cdot \vec{b} — 3\vec{b} \cdot \vec{a} + 6\vec{b} \cdot \vec{b} \). Здесь важно помнить, что скалярное произведение коммутативно, то есть \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \), поэтому два средних слагаемых можно объединить: \( -4\vec{a} \cdot \vec{b} — 3\vec{b} \cdot \vec{a} = -7\vec{a} \cdot \vec{b} \). В итоге выражение упрощается до \( 2\vec{a}^2 — 7\vec{a} \cdot \vec{b} + 6\vec{b}^2 \).

Теперь вычислим каждое из скалярных произведений. Вектор \( \vec{a} \) задан как \( (2, -1, -2) \), поэтому \( \vec{a}^2 = 2^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 4 + 1 + 4 = 9 \). Аналогично для вектора \( \vec{b} = (4, -3, 2) \) получаем \( \vec{b}^2 = 4^2 + (-3)^2 + 2^2 = 16 + 9 + 4 = 29 \). Для скалярного произведения \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) считаем по формуле: \( 2 \cdot 4 + (-1) \cdot (-3) + (-2) \cdot 2 = 8 + 3 — 4 = 7 \).

Подставим найденные значения в упрощённое выражение: \( 2 \cdot 9 — 7 \cdot 7 + 6 \cdot 29 = 18 — 49 + 174 \). Сложив эти числа, получаем \( 143 \). Таким образом, скалярное произведение векторов по заданной формуле равно \( 143 \).