ГДЗ Мерзляк 11 Класс по Геометрии Базовый Уровень Номировский Учебник 📕 Полонский — Все Части

Геометрия Базовый Уровень

11 класс Базовый Уровень Учебник Мерзляк

11 класс

Тип

Гдз, Решебник.

Автор

Мерзляк А.Г., Номировский Д.А., Полонский В.Б., Якир М.С.

Год

2019

Издательство

Вентана-Граф

Описание

Учебник «Геометрия. 11 класс. Базовый уровень» под редакцией А.Г. Мерзляка, В.В. Номировского, В.Б. Полонского и М.С. Якира — это современное учебное пособие, созданное для систематического и доступного изучения геометрии на выпускном этапе школы. Издание полностью соответствует требованиям ФГОС и охватывает все основные темы курса геометрии для 11 класса, позволяя ученикам уверенно освоить базовые понятия и подготовиться к итоговой аттестации.

ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.24 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Найдите косинус угла между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\), если \(A(3; -2; 1)\), \(B(-1; 2; 1)\), \(C(4; -1; 5)\), \(D(1; 3; 0)\).

Краткий ответ:

Векторы \( \overrightarrow{AB} = (-4; 4; 0) \) и \( \overrightarrow{CD} = (-3; 4; -5) \).

Скалярное произведение \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (-4)(-3) + 4 \cdot 4 + 0 \cdot (-5) = 12 + 16 + 0 = 28 \).

Длины векторов \( |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} \), \( |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} \).

Косинус угла между векторами \( \cos \angle(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = \frac{28}{\sqrt{32} \cdot \sqrt{50}} = \frac{28}{40} = \frac{7}{10} = 0.7 \).

Подробный ответ:

Даны точки \( A(3; -2; 1) \), \( B(-1; 2; 1) \), \( C(4; -1; 5) \), \( D(1; 3; 0) \). Для нахождения косинуса угла между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{CD} \) сначала вычислим координаты этих векторов. Вектор \( \overrightarrow{AB} \) получается вычитанием координат точки \( A \) из точки \( B \): \( (-1 — 3; 2 — (-2); 1 — 1) = (-4; 4; 0) \). Аналогично, вектор \( \overrightarrow{CD} \) равен \( (1 — 4; 3 — (-1); 0 — 5) = (-3; 4; -5) \).

Следующий шаг — вычисление скалярного произведения векторов \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} \). Скалярное произведение — это сумма произведений соответствующих координат: \( (-4)(-3) + 4 \cdot 4 + 0 \cdot (-5) = 12 + 16 + 0 = 28 \). Это число показывает, насколько векторы направлены друг относительно друга, и используется для нахождения угла между ними.

Для вычисления косинуса угла нужно найти длины векторов. Длина вектора \( \overrightarrow{AB} \) равна \( \sqrt{(-4)^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = \sqrt{16 + 16 + 0} = \sqrt{32} \). Длина вектора \( \overrightarrow{CD} \) равна \( \sqrt{(-3)^{2} + 4^{2} + (-5)^{2}} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} \). Косинус угла вычисляется по формуле \( \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|} = \frac{28}{\sqrt{32} \cdot \sqrt{50}} \). Упростив знаменатель, получаем \( \sqrt{32} \cdot \sqrt{50} = \sqrt{1600} = 40 \), значит \( \cos \theta = \frac{28}{40} = \frac{7}{10} = 0.7 \).

Оцени решение