ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.25 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Вершинами треугольника являются точки \(A(1; 0; 1)\), \(B(-5; 4; 3)\), \(C(0; 3; -1)\). Найдите угол \(A\) треугольника.

Векторы \( \overrightarrow{AB} = (-6; 4; 2) \) и \( \overrightarrow{AC} = (-1; 3; -2) \).

Скалярное произведение \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 6 + 12 — 4 = 14 \).

Длины векторов \( |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{56} \), \( |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{14} \).

Косинус угла \( \cos \angle BAC = \frac{14}{\sqrt{56} \cdot \sqrt{14}} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2} \).

Угол \( \angle BAC = 60^\circ \).

Для нахождения угла при вершине \(A\) в треугольнике с вершинами \(A(1; 0; 1)\), \(B(-5; 4; 3)\), \(C(0; 3; -1)\) сначала нужно определить векторы, исходящие из точки \(A\) к точкам \(B\) и \(C\). Вектор \( \overrightarrow{AB} \) находится как разность координат точки \(B\) и точки \(A\), то есть \( \overrightarrow{AB} = (x_B — x_A; y_B — y_A; z_B — z_A) = (-5 — 1; 4 — 0; 3 — 1) = (-6; 4; 2) \). Аналогично вектор \( \overrightarrow{AC} = (0 — 1; 3 — 0; -1 — 1) = (-1; 3; -2) \).

Следующий шаг — вычислить скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \). Скалярное произведение определяется по формуле \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = x_{AB} \cdot x_{AC} + y_{AB} \cdot y_{AC} + z_{AB} \cdot z_{AC} \). Подставляя наши значения, получаем \( (-6) \cdot (-1) + 4 \cdot 3 + 2 \cdot (-2) = 6 + 12 — 4 = 14 \). Это значение показывает, насколько векторы направлены друг относительно друга.

Чтобы найти угол между векторами, надо вычислить их длины по формуле \( |\overrightarrow{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \). Длина вектора \( \overrightarrow{AB} \) равна \( \sqrt{(-6)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56} \), а длина вектора \( \overrightarrow{AC} \) равна \( \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14} \). Косинус угла между векторами находится по формуле \( \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} \), подставляем значения и получаем \( \cos \angle BAC = \frac{14}{\sqrt{56} \cdot \sqrt{14}} = \frac{14}{\sqrt{784}} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2} \). Угол, косинус которого равен \( \frac{1}{2} \), равен \( 60^\circ \).