ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.26 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Каким треугольником, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, является треугольник с вершинами в точках \(A(0; 1; 2)\), \(B(-2; -1; 0)\) и \(C(1; 0; 1)\)?

Векторы сторон: \(\overrightarrow{AB} = (-2, -2, -2)\), \(\overrightarrow{BC} = (3, 1, 1)\), \(\overrightarrow{AC} = (1, -1, -1)\).

Длины сторон: \(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4+4+4} = 2 \sqrt{3}\), \(|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{9+1+1} = \sqrt{11}\), \(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}\).

Косинус угла при \(A\): \(\cos A = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{-2 + 2 + 2}{2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

Косинус угла при \(B\): \(\cos B = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} = \frac{-6 — 2 — 2}{2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{11}} = \frac{-10}{\sqrt{132}} < 0\).

Треугольник \(ABC\) является тупоугольным.

Вычислим векторы сторон треугольника с вершинами \(A(0; 1; 2)\), \(B(-2; -1; 0)\), \(C(1; 0; 1)\). Вектор \(\overrightarrow{AB}\) равен разности координат точек \(B\) и \(A\): \(\overrightarrow{AB} = (-2 — 0, -1 — 1, 0 — 2) = (-2, -2, -2)\). Аналогично, \(\overrightarrow{BC} = (1 — (-2), 0 — (-1), 1 — 0) = (3, 1, 1)\), а \(\overrightarrow{AC} = (1 — 0, 0 — 1, 1 — 2) = (1, -1, -1)\).

Далее найдём длины этих векторов, которые соответствуют длинам сторон треугольника. Для вектора \(\overrightarrow{AB}\) длина равна корню из суммы квадратов его компонент: \(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}\). Для \(\overrightarrow{BC}\) длина равна \(|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11}\). Для \(\overrightarrow{AC}\) длина равна \(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}\).

Чтобы определить вид треугольника, вычислим косинусы углов между сторонами. Косинус угла при вершине \(A\) — это косинус угла между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\). Скалярное произведение этих векторов равно \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-2)(1) + (-2)(-1) + (-2)(-1) = -2 + 2 + 2 = 2\). Тогда косинус угла при \(A\) равен \(\cos A = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{2}{2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3}\).

Для угла при вершине \(B\) вычислим косинус между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\). Скалярное произведение равно \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-2)(3) + (-2)(1) + (-2)(1) = -6 — 2 — 2 = -10\). Длины векторов известны: \(|\overrightarrow{AB}| = 2 \sqrt{3}\), \(|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{11}\). Косинус угла при \(B\) равен \(\cos B = \frac{-10}{2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{11}} = \frac{-10}{2 \sqrt{33}} = -\frac{5}{\sqrt{33}}\), что отрицательно.

Отрицательное значение косинуса угла при вершине \(B\) означает, что этот угол тупой. Следовательно, треугольник \(ABC\) является тупоугольным.