ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны точки \(A(0; -1; 1)\), \(B(-2; 0; -1)\) и \(C(-2; -1; 0)\). Найдите на оси \(z\) такую точку \(D\), чтобы векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\) были перпендикулярны.

Вычислим векторы: \(\overrightarrow{AB} = (-3; 4; 0)\), \(\overrightarrow{BC} = (5; -3; -2)\), \(\overrightarrow{AC} = (2; 1; -2)\).

Найдем длины: \(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{9 + 16} = 5\), \(|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{25 + 9 + 4} = \sqrt{48}\), \(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3\).

Вычислим косинус угла между \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\): \(\cos \alpha = \frac{-3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 0 \cdot (-2)}{5 \cdot 3} = \frac{-6 + 4 + 0}{15} = \frac{-2}{15} < 0\).

Так как косинус отрицательный, угол тупой. Значит, треугольник тупоугольный.

Для начала найдем векторы, соответствующие сторонам треугольника. Вектор \(\overrightarrow{AB}\) вычисляется как разность координат точки \(B\) и точки \(A\): \(\overrightarrow{AB} = (-2 — 1; 4 — 0; 2 — 2) = (-3; 4; 0)\). Аналогично, вектор \(\overrightarrow{BC}\) равен \((3 — (-2); 1 — 4; 0 — 2) = (5; -3; -2)\), а вектор \(\overrightarrow{AC}\) равен \((3 — 1; 1 — 0; 0 — 2) = (2; 1; -2)\). Эти векторы представляют направления и длины сторон треугольника.

Далее вычислим длины этих векторов, которые соответствуют длинам сторон треугольника. Для вектора \(\overrightarrow{AB}\) длина равна корню из суммы квадратов его координат: \(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-3)^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = \sqrt{9 + 16 + 0} = 5\). Для \(\overrightarrow{BC}\) длина равна \(|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{5^{2} + (-3)^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{25 + 9 + 4} = \sqrt{48}\). Для \(\overrightarrow{AC}\) длина равна \(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3\).

Чтобы определить, является ли треугольник тупоугольным, вычислим косинус угла между двумя сторонами, например, между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\). Скалярное произведение этих векторов равно \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 0 \cdot (-2) = -6 + 4 + 0 = -2\). Косинус угла между ними равен \(\cos \alpha = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{-2}{5 \cdot 3} = \frac{-2}{15}\). Поскольку этот косинус отрицателен, угол между сторонами больше 90 градусов, что означает, что треугольник тупоугольный.