ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.28 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны точки \(A(0; -1; 1)\), \(B(-2; 0; -1)\) и \(C(-2; -1; 0)\). Найдите на оси \(z\) такую точку \(D\), чтобы векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\) были перпендикулярны.

Даны точки \(A(0; -1; 1)\), \(B(-2; 0; -1)\), \(C(-2; -1; 0)\), \(D(0; 0; z)\).

Векторы \(\overrightarrow{AC} = (-2; 0; -1)\), \(\overrightarrow{BD} = (2; 0; z + 1)\).

Условие перпендикулярности: \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0\).

Вычисляем скалярное произведение: \(-2 \cdot 2 + 0 \cdot 0 + (-1)(z + 1) = 0\).

Получаем уравнение: \(-4 — z — 1 = 0\).

Решая, находим \(z = -5\).

Даны точки \(A(0; -1; 1)\), \(B(-2; 0; -1)\), \(C(-2; -1; 0)\) и \(D(0; 0; z)\). Для нахождения координаты \(z\) точки \(D\) нужно, чтобы векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\) были перпендикулярны. Сначала вычислим координаты этих векторов. Вектор \(\overrightarrow{AC}\) получается вычитанием координат точки \(A\) из координат точки \(C\): \(C — A = (-2 — 0; -1 — (-1); 0 — 1) = (-2; 0; -1)\). Аналогично, вектор \(\overrightarrow{BD}\) равен \(D — B = (0 — (-2); 0 — 0; z — (-1)) = (2; 0; z + 1)\).

Перпендикулярность двух векторов означает, что их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\) вычисляется по формуле: \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = (-2) \cdot 2 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot (z + 1)\). Подставляя значения, получаем выражение \(-4 + 0 — (z + 1)\), что упрощается до \(-4 — z — 1\).

Приравниваем скалярное произведение к нулю для перпендикулярности: \(-4 — z — 1 = 0\). Решая это уравнение, складываем числа: \(-5 — z = 0\), откуда \(z = -5\). Таким образом, чтобы векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\) были перпендикулярны, координата \(z\) точки \(D\) должна быть равна \(-5\).