ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.29 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны точки \(A(2; -1; 4)\), \(B(5; 1; 0)\) и \(C(6; 1; 3)\). Найдите на оси \(y\) такую точку \(D\), чтобы векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) были перпендикулярны.

Даны точки \(A(2; -1; 4)\), \(B(5; 1; 0)\), \(C(6; 1; 3)\), \(D(0; y; 0)\).

Вектор \(\overrightarrow{AB} = (3; 2; -4)\).

Вектор \(\overrightarrow{CD} = (-6; y-1; -3)\).

Условие перпендикулярности: \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0\).

Вычисляем скалярное произведение: \(3 \cdot (-6) + 2 \cdot (y-1) + (-4) \cdot (-3) = -18 + 2y — 2 + 12 = -8 + 2y = 0\).

Решаем уравнение: \(2y = 8\), значит, \(y = 4\).

Даны точки \(A(2; -1; 4)\), \(B(5; 1; 0)\), \(C(6; 1; 3)\) и точка \(D(0; y; 0)\), которую нужно найти. Для решения задачи сначала найдем вектор \(\overrightarrow{AB}\), который получается вычитанием координат точки \(A\) из координат точки \(B\). Таким образом, \(\overrightarrow{AB} = (5 — 2; 1 — (-1); 0 — 4) = (3; 2; -4)\). Этот вектор показывает направление и длину от точки \(A\) к точке \(B\).

Далее найдем вектор \(\overrightarrow{CD}\), который направлен от точки \(C\) к точке \(D\). Поскольку \(D\) лежит на оси \(y\), его координаты имеют вид \(D(0; y; 0)\). Тогда \(\overrightarrow{CD} = (0 — 6; y — 1; 0 — 3) = (-6; y — 1; -3)\). Этот вектор зависит от неизвестного параметра \(y\), который мы хотим определить.

Условие перпендикулярности векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) означает, что их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение вычисляется как сумма произведений соответствующих координат: \(3 \cdot (-6) + 2 \cdot (y — 1) + (-4) \cdot (-3) = 0\). Раскроем скобки и упростим выражение: \(-18 + 2y — 2 + 12 = 0\), что даёт \( -8 + 2y = 0\). Решая это уравнение, получаем \(2y = 8\), откуда следует \(y = 4\). Таким образом, точка \(D\) с координатами \( (0; 4; 0) \) удовлетворяет условию перпендикулярности векторов.