ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.3 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если:
1) \(|\vec{a}| = 2\sqrt{3}\), \(|\vec{b}| = 5\), \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ\);
2) \(|\vec{a}| = 4\), \(|\vec{b}| = 7\), \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 135^\circ\).

Для первого случая вычисляем скалярное произведение по формуле \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta \). Подставляем: \( 2\sqrt{3} \times 5 \times \cos 30^\circ = 10\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 15 \).

Для второго случая используем ту же формулу, учитывая, что \( \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Получаем: \( 4 \times 7 \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -14\sqrt{2} \).

Ответ: 1) \( 15 \), 2) \( -14\sqrt{2} \).

Скалярное произведение двух векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) вычисляется по формуле \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta \), где \( |\vec{a}| \) и \( |\vec{b}| \) — длины векторов, а \( \theta \) — угол между ними. Эта формула показывает, как величина скалярного произведения зависит от угла: если угол острый, значение положительное, если тупой — отрицательное, а при прямом угле скалярное произведение равно нулю.

В первом случае даны длины векторов \( |\vec{a}| = 2 \sqrt{3} \) и \( |\vec{b}| = 5 \), а угол между ними \( \theta = 30^\circ \). Известно, что \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Подставляем значения в формулу: \( 2 \sqrt{3} \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \). Сначала умножаем \( 2 \sqrt{3} \) на 5, получаем \( 10 \sqrt{3} \). Затем умножаем на \( \frac{\sqrt{3}}{2} \), что равно \( 10 \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10 \times \frac{3}{2} = 15 \).

Во втором случае длины векторов \( |\vec{a}| = 4 \) и \( |\vec{b}| = 7 \), угол \( \theta = 135^\circ \). Косинус этого угла равен \( \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Подставляем в формулу: \( 4 \times 7 \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 28 \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -14 \sqrt{2} \). Отрицательное значение говорит о том, что угол между векторами тупой, и векторы направлены в разные стороны относительно оси.

Ответ: 1) \( 15 \), 2) \( -14 \sqrt{2} \).