ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.30 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Известно, что \(\vec{a} = 4\vec{m} — 5\vec{n}\), \(\vec{b} = 2\vec{m} + \vec{n}\). Найдите угол между векторами \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\), если \(\vec{a} \perp \vec{b}\), \(|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1\).

Даны векторы \( \vec{a} = 4\vec{m} — 5\vec{n} \) и \( \vec{b} = 2\vec{m} + \vec{n} \), где \( |\vec{m}| = |\vec{n}| = 1 \). По условию \( \vec{a} \perp \vec{b} \), значит \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \).

Вычисляем скалярное произведение: \( (4\vec{m} — 5\vec{n}) \cdot (2\vec{m} + \vec{n}) = 0 \).

Раскрываем скобки: \( 8(\vec{m} \cdot \vec{m}) + 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) — 10(\vec{n} \cdot \vec{m}) — 5(\vec{n} \cdot \vec{n}) = 0 \).

Подставляем \( |\vec{m}| = |\vec{n}| = 1 \) и \( \vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m} \):

\( 8 + 4\cos \theta — 10\cos \theta — 5 = 0 \).

Упрощаем:

\( 3 — 6\cos \theta = 0 \).

Из этого получаем:

\( \cos \theta = \frac{1}{2} \).

Следовательно, угол между векторами \( \theta = 60^\circ \).

Даны два вектора \( \vec{a} = 4\vec{m} — 5\vec{n} \) и \( \vec{b} = 2\vec{m} + \vec{n} \), причем модули векторов \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \) равны единице, то есть \( |\vec{m}| = 1 \) и \( |\vec{n}| = 1 \). По условию векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) перпендикулярны, что означает, что их скалярное произведение равно нулю: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \).

Раскроем скалярное произведение \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) с учетом выражений для \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \). Получаем: \( (4\vec{m} — 5\vec{n}) \cdot (2\vec{m} + \vec{n}) = 0 \). Используем дистрибутивность скалярного произведения, раскрывая скобки: \( 4\vec{m} \cdot 2\vec{m} + 4\vec{m} \cdot \vec{n} — 5\vec{n} \cdot 2\vec{m} — 5\vec{n} \cdot \vec{n} = 0 \). Это можно переписать как \( 8(\vec{m} \cdot \vec{m}) + 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) — 10(\vec{n} \cdot \vec{m}) — 5(\vec{n} \cdot \vec{n}) = 0 \).

Так как скалярное произведение коммутативно, то есть \( \vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m} \), и модули векторов равны единице, следовательно, \( \vec{m} \cdot \vec{m} = 1 \) и \( \vec{n} \cdot \vec{n} = 1 \). Подставим эти значения: \( 8 \cdot 1 + 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) — 10(\vec{m} \cdot \vec{n}) — 5 \cdot 1 = 0 \), что упрощается до \( 8 + (4 — 10)(\vec{m} \cdot \vec{n}) — 5 = 0 \). Далее получаем уравнение \( 3 — 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) = 0 \), откуда следует \( \vec{m} \cdot \vec{n} = \frac{1}{2} \).

Скалярное произведение двух единичных векторов через угол между ними выражается формулой \( \vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}||\vec{n}|\cos \theta = \cos \theta \). Подставляя найденное значение, имеем \( \cos \theta = \frac{1}{2} \). Из этого следует, что угол между векторами \( \theta = 60^\circ \). Таким образом, условие перпендикулярности векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) приводит к углу в 60 градусов между векторами \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \).