ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.31 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Известно, что \(\vec{m} = 2\vec{a} — \vec{b}\), \(\vec{n} = \vec{a} — 3\vec{b}\). Найдите угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если \(\vec{m} \perp \vec{n}\), \(|\vec{a}| = 2\), \(|\vec{b}| = \sqrt{2}\).

Дано: \(\vec{m} = 2\vec{a} — \vec{b}\), \(\vec{n} = \vec{a} — 3\vec{b}\), \(\vec{m} \perp \vec{n}\), \(|\vec{a}| = 2\), \(|\vec{b}| = \sqrt{2}\).

Так как \(\vec{m} \perp \vec{n}\), то \(\vec{m} \cdot \vec{n} = 0\).

Раскроем скалярное произведение: \((2\vec{a} — \vec{b}) \cdot (\vec{a} — 3\vec{b}) = 0\).

Получаем \(2|\vec{a}|^2 — 7 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 3|\vec{b}|^2 = 0\).

Подставляем модули: \(2 \cdot 4 — 7 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 3 \cdot 2 = 0\).

Упрощаем: \(14 — 7 (\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0\), откуда \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\).

Скалярное произведение через угол: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta\).

Подставляем: \(2 = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos \theta\), значит \(\cos \theta = \frac{2}{2 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Угол между векторами: \(\theta = 45^\circ\).

Дано два вектора \(\vec{m} = 2\vec{a} — \vec{b}\) и \(\vec{n} = \vec{a} — 3\vec{b}\), которые перпендикулярны, то есть \(\vec{m} \perp \vec{n}\). Из условия перпендикулярности следует, что их скалярное произведение равно нулю: \(\vec{m} \cdot \vec{n} = 0\). Подставим выражения для \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) в скалярное произведение: \((2\vec{a} — \vec{b}) \cdot (\vec{a} — 3\vec{b}) = 0\). Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения: \(2\vec{a} \cdot \vec{a} — 6\vec{a} \cdot \vec{b} — \vec{b} \cdot \vec{a} + 3\vec{b} \cdot \vec{b} = 0\). Поскольку скалярное произведение коммутативно, \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\), упростим выражение до \(2|\vec{a}|^2 — 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 3|\vec{b}|^2 = 0\).

Известно, что длина вектора \(\vec{a}\) равна 2, то есть \(|\vec{a}| = 2\), а длина вектора \(\vec{b}\) равна \(\sqrt{2}\), то есть \(|\vec{b}| = \sqrt{2}\). Подставим эти значения в уравнение: \(2 \cdot 2^2 — 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 3 \cdot (\sqrt{2})^2 = 0\). Вычислим степени и произведения: \(2 \cdot 4 — 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 3 \cdot 2 = 0\), что даёт \(8 — 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 6 = 0\). Сложим числа: \(14 — 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0\). Отсюда выразим скалярное произведение: \(7(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 14\), значит \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\).

Скалярное произведение векторов выражается через их длины и угол между ними: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta\), где \(\theta\) — угол между векторами. Подставим известные значения: \(2 = 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos \theta\). Найдём косинус угла: \(\cos \theta = \frac{2}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\). Известно, что \(\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\), следовательно, угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен \(45^\circ\).