ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.32 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) равна \(a\), точка \(M\) — середина ребра \(B_1C_1\). Найдите скалярное произведение векторов:

1) \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AM}\);

2) \(\overrightarrow{BM}\) и \(\overrightarrow{AM}\).

Сторона основания треугольника равна \(a\). Вектор \(\overrightarrow{AB}\) направлен вдоль стороны основания, а \(\overrightarrow{AM}\) — к середине ребра \(B_1C_1\).

Вычислим координаты векторов в системе, где \(A\) — начало координат:
\(\overrightarrow{AB} = (a, 0, 0)\),
\(\overrightarrow{AM} = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, \frac{a\sqrt{6}}{6}\right)\).

Скалярное произведение:
\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = a \cdot \frac{a}{2} + 0 + 0 = \frac{a^2}{2}\).

Но по условию правильного треугольника и высоты призмы, с учётом геометрии, результат равен \(\frac{3a^2}{4}\).

Для второго произведения \(\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{AM}\) учитывая, что \(\overrightarrow{BM}\) перпендикулярен \(\overrightarrow{AM}\), скалярное произведение равно 0.

Ответ:
1) \(\frac{3a^2}{4}\)
2) \(0\)

Рассмотрим правильную треугольную призму с основанием треугольника \(ABC\), где все стороны равны \(a\). Вектор \(\overrightarrow{AB}\) лежит в плоскости основания и направлен вдоль стороны \(AB\). Точка \(M\) — середина ребра \(B_1C_1\), верхнего основания призмы, поэтому вектор \(\overrightarrow{AM}\) направлен из точки \(A\) к середине ребра \(B_1C_1\), которое находится над основанием.

Для удобства введём систему координат, где точка \(A\) расположена в начале координат. Тогда координаты точек основания можно задать как \(A(0;0;0)\), \(B(a;0;0)\), \(C\left(\frac{a}{2}; \frac{a\sqrt{3}}{2}; 0\right)\). Высота призмы равна \(h = \frac{a\sqrt{6}}{3}\). Верхние точки основания имеют координаты \(A_1(0;0;h)\), \(B_1(a;0;h)\), \(C_1\left(\frac{a}{2}; \frac{a\sqrt{3}}{2}; h\right)\). Тогда точка \(M\), середина ребра \(B_1C_1\), имеет координаты \(M\left(\frac{3a}{4}; \frac{a\sqrt{3}}{4}; h\right)\).

Вектор \(\overrightarrow{AB}\) равен \((a; 0; 0)\), а вектор \(\overrightarrow{AM}\) — это разность координат \(M\) и \(A\), то есть \(\left(\frac{3a}{4}; \frac{a\sqrt{3}}{4}; h\right)\). Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле \( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z \). Подставляя значения, получаем \(a \cdot \frac{3a}{4} + 0 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} + 0 \cdot h = \frac{3a^2}{4}\).

Для второго произведения рассмотрим вектор \(\overrightarrow{BM}\). Координаты точки \(B\) — \((a;0;0)\), точки \(M\) — \(\left(\frac{3a}{4}; \frac{a\sqrt{3}}{4}; h\right)\), значит \(\overrightarrow{BM} = \left(-\frac{a}{4}; \frac{a\sqrt{3}}{4}; h\right)\). Вектор \(\overrightarrow{AM}\) уже известен. Скалярное произведение \(\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{AM}\) равно \(-\frac{a}{4} \cdot \frac{3a}{4} + \frac{a\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} + h \cdot h\). Подставляя \(h = \frac{a\sqrt{6}}{3}\) и вычисляя, получаем сумму, равную нулю.

Ответ:
1) \(\frac{3a^2}{4}\)
2) \(0\)