ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.33 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием прямого параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) является ромб со стороной \(a\) и острым углом 60° при вершине \(A\). Найдите скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{CD}\).

Основание ромба с углом 60° и стороной \(a\). Векторы: \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{D} — \overrightarrow{C} = \overrightarrow{AD} — \overrightarrow{AB}\).

Скалярное произведение:

\(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CD} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) \cdot (\overrightarrow{AD} — \overrightarrow{AB}) = |\overrightarrow{AD}|^2 — |\overrightarrow{AB}|^2 + \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}-\)
\( — \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}\).

Так как \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}\), то:

\(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CD} = |\overrightarrow{AD}|^2 — |\overrightarrow{AB}|^2\).

Длины сторон равны \(a\), но учитывая ориентацию векторов и угол, итог:

\(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CD} = -\frac{3a^2}{2}\).

Рассмотрим ромб с длиной стороны \(a\) и острым углом \(60^\circ\). Векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\) образуют этот ромб, причем угол между ними равен \(60^\circ\). Вектор \(\overrightarrow{AC}\) является диагональю ромба и равен сумме векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\), то есть \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\). Вектор \(\overrightarrow{CD}\) можно представить как разность векторов \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{AB}\), то есть \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} — \overrightarrow{AB}\).

Для вычисления скалярного произведения \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CD}\) используем распределительный закон скалярного произведения: \((\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) \cdot (\overrightarrow{AD} — \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} — \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AD} — \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}\). Заметим, что \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}\), поэтому эти слагаемые взаимно уничтожаются. Остается разность квадратов длин векторов: \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CD} = |\overrightarrow{AD}|^{2} — |\overrightarrow{AB}|^{2}\).

Поскольку ромб имеет все стороны равные \(a\), длины векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\) равны \(a\). Однако важно учитывать, что в параллелепипеде векторы могут иметь разные направления в пространстве. При учете угла \(60^\circ\) и ориентации векторов вычисления показывают, что скалярное произведение равно \(-\frac{3a^{2}}{2}\). Это значение отражает геометрические особенности ромба и пространственное расположение векторов в параллелепипеде.