ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.34 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \(M\) — середина ребра \(AA_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите угол между прямыми \(BM\) и \(BC_1\).

Точка \( M \) — середина ребра \( AA_1 \), значит \( M = (0, 0, \frac{a}{2}) \).

Векторы: \( \overrightarrow{BM} = (-a, 0, \frac{a}{2}) \), \( \overrightarrow{BC_1} = (0, a, a) \).

Скалярное произведение: \( \overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{BC_1} = \frac{a^2}{2} \).

Длины векторов: \( |\overrightarrow{BM}| = \frac{a\sqrt{5}}{2} \), \( |\overrightarrow{BC_1}| = a\sqrt{2} \).

Косинус угла: \( \cos \theta = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \).

Угол между прямыми: \( \angle(BM, BC_1) = \arccos \frac{\sqrt{10}}{10} \).

Точка \( M \) является серединой ребра \( AA_1 \) куба, поэтому её координаты можно найти как среднее арифметическое координат точек \( A(0,0,0) \) и \( A_1(0,0,a) \). Таким образом, \( M = \left(0, 0, \frac{a}{2}\right) \). Это важно, так как позволяет точно определить положение точки \( M \) в трёхмерном пространстве относительно исходной системы координат.

Далее рассматриваем векторы, задающие направления прямых \( BM \) и \( BC_1 \). Точка \( B \) имеет координаты \( (a,0,0) \), а \( C_1 \) — \( (a,a,a) \). Тогда вектор \( \overrightarrow{BM} \) равен разности координат \( M — B \), то есть \( (-a, 0, \frac{a}{2}) \), а вектор \( \overrightarrow{BC_1} \) равен \( (0, a, a) \). Эти векторы нужны для вычисления угла между прямыми, так как угол между ними равен углу между соответствующими векторами.

Для нахождения угла используем формулу косинуса угла между двумя векторами: \( \cos \theta = \frac{\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{BC_1}}{|\overrightarrow{BM}| \cdot |\overrightarrow{BC_1}|} \). Скалярное произведение векторов равно \( (-a) \cdot 0 + 0 \cdot a + \frac{a}{2} \cdot a = \frac{a^2}{2} \). Длины векторов вычисляются как \( |\overrightarrow{BM}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a \sqrt{5}}{2} \) и \( |\overrightarrow{BC_1}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = a \sqrt{2} \). Подставляя эти значения в формулу, получаем \( \cos \theta = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a \sqrt{5}}{2} \cdot a \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \). Следовательно, искомый угол равен \( \arccos \frac{\sqrt{10}}{10} \).