ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.35 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Точка \(O\) — центр грани \(AA_1B_1B\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Найдите угол между прямыми \(OC\) и \(BD\).

Точка \(O\) — центр грани \(AA_1B_1B\), значит \(O\) имеет координаты \(\left(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right)\).

Вектор \(OC = C — O = \left(1, 1, 0\right) — \left(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, -\frac{1}{2}\right)\).

Вектор \(BD = D — B = (0, 1, 0) — (1, 0, 0) = (-1, 1, 0)\).

Скалярное произведение \(\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{BD} = \frac{1}{2} \cdot (-1) + 1 \cdot 1 + \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 0 = \frac{1}{2}\).

Длины векторов: \(|\overrightarrow{OC}| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{2}}\), \(|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}\).

Косинус угла между прямыми равен \(\cos \theta = \frac{\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{OC}| \cdot |\overrightarrow{BD}|} = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{\frac{2}{3}}\).

Ответ: угол между прямыми \(OC\) и \(BD\) равен \(\arccos \sqrt{\frac{2}{3}}\).

Точка \(O\) является центром грани \(AA_1B_1B\) куба, поэтому её координаты находятся как среднее арифметическое координат вершин этой грани. Вершины грани: \(A(0,0,0)\), \(A_1(0,0,1)\), \(B_1(1,0,1)\), \(B(1,0,0)\). Координаты точки \(O\) вычисляются по формуле \(O = \left(\frac{0+0+1+1}{4}, \frac{0+0+0+0}{4}, \frac{0+1+1+0}{4}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right)\).

Для нахождения угла между прямыми \(OC\) и \(BD\) сначала найдём векторы, направленные вдоль этих прямых. Вектор \(OC\) равен разности координат точки \(C(1,1,0)\) и точки \(O\), то есть \(\overrightarrow{OC} = \left(1 — \frac{1}{2}, 1 — 0, 0 — \frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, -\frac{1}{2}\right)\). Аналогично, вектор \(BD\) равен разности координат точки \(D(0,1,0)\) и точки \(B(1,0,0)\), то есть \(\overrightarrow{BD} = (0 — 1, 1 — 0, 0 — 0) = (-1, 1, 0)\).

Далее вычислим скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{OC}\) и \(\overrightarrow{BD}\) по формуле \(\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{BD} = \frac{1}{2} \cdot (-1) + 1 \cdot 1 + \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 0 = -\frac{1}{2} + 1 + 0 = \frac{1}{2}\). Теперь найдём длины векторов: длина \(\overrightarrow{OC}\) равна \(\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{2}}\), а длина \(\overrightarrow{BD}\) равна \(\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\).

Угол между векторами определяется формулой \(\cos \theta = \frac{\overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{OC}| \cdot |\overrightarrow{BD}|}\). Подставляя значения, получаем \(\cos \theta = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}\). Таким образом, угол между прямыми \(OC\) и \(BD\) равен \(\arccos \sqrt{\frac{2}{3}}\).