ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.36 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Точки \(M\) и \(K\) — соответственно середины рёбер \(AA_1\) и \(AD\), точка \(O\) — центр грани \(CC_1D_1D\). Докажите, что прямые \(BK\) и \(MO\) перпендикулярны

Дано: куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \).

Точки:
— \( M \) — середина ребра \( AA_1 \), значит \( M = \frac{A + A_1}{2} \).
— \( K \) — середина ребра \( AD \), значит \( K = \frac{A + D}{2} \).
— \( O \) — центр грани \( CC_1D_1D \), значит \( O = \frac{C + C_1 + D_1 + D}{4} \).

Вектор \( \overrightarrow{BK} = K — B = \frac{A + D}{2} — B \).

Вектор \( \overrightarrow{MO} = O — M = \frac{C + C_1 + D_1 + D}{4} — \frac{A + A_1}{2} \).

В кубе \( A, B, C, D \) — вершины основания, \( A_1, B_1, C_1, D_1 \) — вершины верхней грани.

Выразим координаты вектора \( \overrightarrow{BK} \) и \( \overrightarrow{MO} \) через базисные векторы куба.

Проверим скалярное произведение:

\[
\overrightarrow{BK} \cdot \overrightarrow{MO} = 0
\]

Если скалярное произведение равно нулю, то прямые \( BK \) и \( MO \) перпендикулярны.

Проведя вычисления, получаем:

\[
\overrightarrow{BK} \cdot \overrightarrow{MO} = 0
\]

Следовательно, прямые \( BK \) и \( MO \) перпендикулярны.

1. Рассмотрим куб \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) с вершинами основания \( A, B, C, D \) и верхней грани \( A_1, B_1, C_1, D_1 \). Точка \( M \) — середина ребра \( AA_1 \), значит её координаты можно выразить как \( M = \frac{A + A_1}{2} \). Аналогично, точка \( K \) — середина ребра \( AD \), поэтому \( K = \frac{A + D}{2} \). Точка \( O \) — центр грани \( CC_1D_1D \), следовательно, её координаты равны среднему арифметическому координат четырёх её вершин: \( O = \frac{C + C_1 + D_1 + D}{4} \).

2. Теперь найдём векторы \( \overrightarrow{BK} \) и \( \overrightarrow{MO} \). Вектор \( \overrightarrow{BK} \) направлен от точки \( B \) к точке \( K \), поэтому \( \overrightarrow{BK} = K — B = \frac{A + D}{2} — B \). Вектор \( \overrightarrow{MO} \) направлен от точки \( M \) к точке \( O \), значит \( \overrightarrow{MO} = O — M = \frac{C + C_1 + D_1 + D}{4} — \frac{A + A_1}{2} \). Для удобства можно представить координаты всех точек через базисные векторы куба, например, пусть \( A = (0,0,0) \), \( B = (a,0,0) \), \( D = (0,a,0) \), \( A_1 = (0,0,a) \) и так далее.

3. Подставляя координаты, получаем \( K = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0, \frac{a}{2}, 0) \), \( B = (a, 0, 0) \), значит \( \overrightarrow{BK} = (0 — a, \frac{a}{2} — 0, 0 — 0) = (-a, \frac{a}{2}, 0) \). Точка \( M = \frac{A + A_1}{2} = \left(0, 0, \frac{a}{2}\right) \). Центр грани \( O = \frac{C + C_1 + D_1 + D}{4} \), где \( C = (a,a,0) \), \( C_1 = (a,a,a) \), \( D_1 = (0,a,a) \), \( D = (0,a,0) \), значит \( O = \left(\frac{a+a+0+0}{4}, \frac{a+a+a+a}{4}, \frac{0+a+a+0}{4}\right) = \left(\frac{a}{2}, a, \frac{a}{2}\right) \). Тогда \( \overrightarrow{MO} = \left(\frac{a}{2} — 0, a — 0, \frac{a}{2} — \frac{a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, a, 0\right) \).

4. Проверим перпендикулярность векторов \( \overrightarrow{BK} \) и \( \overrightarrow{MO} \), вычислив их скалярное произведение: \( \overrightarrow{BK} \cdot \overrightarrow{MO} = (-a) \cdot \frac{a}{2} + \frac{a}{2} \cdot a + 0 \cdot 0 = -\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} + 0 = 0 \). Скалярное произведение равно нулю, значит векторы перпендикулярны.

5. Поскольку векторы \( \overrightarrow{BK} \) и \( \overrightarrow{MO} \) перпендикулярны, прямые \( BK \) и \( MO \), лежащие на этих векторах, также перпендикулярны. Таким образом, доказано, что прямые \( BK \) и \( MO \) перпендикулярны в заданном кубе.