ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.37 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основанием пирамиды \(DABC\) является равнобедренный треугольник \(ABC\), \(AB = BC\), \(\angle DBA = \angle DBC\). Докажите, что \(BD \perp AC\).

Основание пирамиды \(DABC\) — равнобедренный треугольник с \(AB = BC\). По условию \(\angle DBA = \angle DBC\).

Векторы \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{AC}\) перпендикулярны, так как \(\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\).

Отсюда следует, что \(BD \perp AC\).

Пусть \(DABC\) — пирамида, у которой основание \(ABC\) является равнобедренным треугольником с равными сторонами \(AB = BC\). По условию углы при вершине \(B\), а именно \(\angle DBA\) и \(\angle DBC\), равны. Это означает, что точка \(D\) расположена так, что отрезки \(DA\) и \(DC\) образуют одинаковые углы с отрезком \(BD\).

Рассмотрим векторы \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{AC}\). Из равенства углов \(\angle DBA = \angle DBC\) следует, что вектор \(\overrightarrow{BD}\) является осью симметрии для отрезка \(AC\), так как точки \(A\) и \(C\) симметричны относительно прямой, проходящей через \(B\) и \(D\). Это значит, что проекция вектора \(\overrightarrow{AC}\) на вектор \(\overrightarrow{BD}\) равна нулю, то есть их скалярное произведение равно нулю: \(\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\).

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{AC}\) перпендикулярны. Следовательно, отрезок \(BD\) перпендикулярен отрезку \(AC\), то есть \(BD \perp AC\). Таким образом, доказано, что при данных условиях \(BD\) является высотой, опущенной из вершины \(B\) на основание \(AC\).