ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.39 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Основание равнобедренного треугольника равно \(\sqrt{3}\) см, а угол при основании равен 30°. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

Основание \(AC = \sqrt{3}\), углы при основании \(30^\circ\), значит угол при вершине \(B = 180^\circ — 30^\circ — 30^\circ = 120^\circ\).

По теореме синусов радиус описанной окружности \(R = \frac{AC}{2 \sin B} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sin 120^\circ}\).

Так как \(\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем \(R = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = 1\).

Ответ: \(R = 1\) см.

Дано, что треугольник равнобедренный с основанием \(AC = \sqrt{3}\) и углами при основании по \(30^\circ\). Поскольку сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), угол при вершине \(B\) вычисляется как \(180^\circ — 30^\circ — 30^\circ = 120^\circ\). Это важно, потому что радиус описанной окружности зависит от сторон и углов треугольника.

Для нахождения радиуса описанной окружности используем теорему синусов, которая гласит, что радиус \(R\) равен половине длины стороны, делённой на синус противолежащего угла. В нашем случае радиус \(R = \frac{AC}{2 \sin B}\), где сторона \(AC = \sqrt{3}\), а угол \(B = 120^\circ\). Подстановка этих значений даёт формулу \(R = \frac{\sqrt{3}}{2 \sin 120^\circ}\).

Вычислим \(\sin 120^\circ\). Угол \(120^\circ\) равен \(180^\circ — 60^\circ\), следовательно, \(\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставляя это значение в формулу радиуса, получаем \(R = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1\). Таким образом, радиус описанной окружности равен единице.