ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.4 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\), если \(|\vec{m}| = 2\), \(|\vec{n}| = 1\), \(\angle(\vec{m}, \vec{n}) = 120^\circ\).

Дано: \( |\vec{m}| = 2 \), \( |\vec{n}| = 1 \), угол между векторами \( 120^\circ \).

Скалярное произведение вычисляется по формуле \( \vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos 120^\circ \).

Подставляем значения: \( 2 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 \).

Ответ: \( -1 \).

Для нахождения скалярного произведения двух векторов нужно использовать формулу \( \vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| \cdot |\vec{n}| \cdot \cos \theta \), где \( |\vec{m}| \) и \( |\vec{n}| \) — длины векторов, а \( \theta \) — угол между ними. В условии даны длины векторов: \( |\vec{m}| = 2 \), \( |\vec{n}| = 1 \), и угол между ними равен \( 120^\circ \). Таким образом, чтобы найти скалярное произведение, нужно умножить длины векторов на косинус угла между ними.

Следующий шаг — вычислить косинус угла \( 120^\circ \). Известно, что \( \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \), так как угол \( 120^\circ \) находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Подставляя это значение в формулу, получаем: \( \vec{m} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \). Произведение даёт результат \( -1 \), что означает, что векторы направлены под углом, больше 90 градусов, и их скалярное произведение отрицательно.

Итоговый ответ — скалярное произведение равно \( -1 \). Это значение показывает, что векторы не просто не совпадают по направлению, а имеют угол больше прямого, что отражается в отрицательном результате произведения. Такой подход позволяет быстро и точно находить скалярное произведение по известным длинам векторов и углу между ними.