ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.40 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 2 см, а диагональное сечение пирамиды равновелико основанию. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь основания \(S_{осн} = 2^2 = 4\) см².

Диагональ основания \(BD = 2 \sqrt{2}\) см.

Площадь диагонального сечения \(S_{сеч} = \frac{1}{2} \times BD \times SO = 4\), откуда \(SO = \frac{4}{\frac{1}{2} \times BD} = 2 \sqrt{2}\) см.

Высота боковой грани \(SH = \sqrt{SO^2 + OH^2} = \sqrt{(2 \sqrt{2})^2 + 1^2} = 3\) см.

Площадь боковой поверхности \(S_{бок} = \frac{P}{2} \times SH = \frac{8}{2} \times 3 = 12\) см².

Основание пирамиды — квадрат со стороной 2 см, поэтому площадь основания равна \(S_{осн} = 2^2 = 4\) см². Диагональ квадрата вычисляется по формуле \(BD = 2 \sqrt{2}\) см, так как диагональ равна стороне, умноженной на корень из двух. Диагональное сечение пирамиды — это треугольник, образованный диагональю основания и вершиной пирамиды. По условию площадь этого сечения равна площади основания, то есть \(S_{сеч} = 4\) см².

Площадь треугольника диагонального сечения можно выразить как \(S_{сеч} = \frac{1}{2} \times BD \times SO\), где \(SO\) — высота пирамиды, проведённая на диагональ основания. Подставляя известные значения, получаем уравнение \(\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times SO = 4\). Упростив, находим \(SO = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}\) см. Это значение означает, что высота пирамиды, измеренная по диагонали основания, равна \(2 \sqrt{2}\) см.

Для вычисления площади боковой поверхности нужно найти высоту боковой грани пирамиды. Рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды \(SO\), половиной стороны основания \(OH = 1\) см и высотой боковой грани \(SH\). По теореме Пифагора \(SH = \sqrt{SO^2 + OH^2} = \sqrt{(2 \sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{8 + 1} = 3\) см. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей четырёх равных треугольников с основанием 2 см и высотой 3 см, то есть \(S_{бок} = 4 \times \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 12\) см².