ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.5 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен 45°, \(|\vec{a}| = 3\), \(|\vec{b}| = 3\sqrt{2}\). Найдите:
1) \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b}\);
2) \((2\vec{a} — \vec{b}) \cdot \vec{a}\);
3) \((\vec{a} — \vec{b})^2\).

1) \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 3 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (3\sqrt{2})^2 = 9 + 18 = 27\)

2) \((2\vec{a} — \vec{b}) \cdot \vec{a} = 2|\vec{a}|^2 — \vec{b} \cdot \vec{a} = 2 \cdot 9 — 9 = 18 — 9 = 9\)

3) \((\vec{a} — \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 — 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 9 — 2 \cdot 9 + 18 = 9\)

Для начала рассмотрим первое выражение \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b}\). По свойству скалярного произведения оно раскладывается в сумму \(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b}\). Чтобы найти \(\vec{a} \cdot \vec{b}\), используем формулу через длины векторов и угол между ними: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos 45^\circ\). Подставляя значения, получаем \(3 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9\). Квадрат длины вектора \(\vec{b}\) равен \((3\sqrt{2})^2 = 18\). Складывая эти результаты, получаем \(27\).

Во втором выражении \((2\vec{a} — \vec{b}) \cdot \vec{a}\) раскроем скобки по линейности скалярного произведения: \(2\vec{a} \cdot \vec{a} — \vec{b} \cdot \vec{a}\). Квадрат длины \(\vec{a}\) равен \(3^2 = 9\), значит \(2\vec{a} \cdot \vec{a} = 2 \cdot 9 = 18\). Значение \(\vec{b} \cdot \vec{a}\) уже найдено и равно 9. Вычитаем, получая \(18 — 9 = 9\).

Третье выражение \((\vec{a} — \vec{b})^2\) означает скалярное произведение \((\vec{a} — \vec{b}) \cdot (\vec{a} — \vec{b})\). Раскрывая скобки, получаем \( |\vec{a}|^2 — 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2\). Подставляем известные значения: \(9 — 2 \cdot 9 + 18 = 9\). Это показывает, что длина разности векторов связана с их длинами и углом между ними.