ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.6 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Угол между векторами \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) равен 150°. \(|\vec{m}| = 2\), \(|\vec{n}| = \sqrt{3}\). Найдите:
1) \((3\vec{m} — 4\vec{n}) \cdot \vec{m}\);
2) \((\vec{m} + \vec{n})^2\).

Для первого выражения вычисляем скалярное произведение:
\((3\vec{m} — 4\vec{n}) \cdot \vec{m} = 3|\vec{m}|^2 — 4|\vec{n}||\vec{m}|\cos 150^\circ = 3 \cdot 4 + 4 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} =\)
\(= 12 + 12 = 24\).

Для второго выражения раскладываем квадрат суммы:
\((\vec{m} + \vec{n})^2 = |\vec{m}|^2 + 2|\vec{m}||\vec{n}|\cos 150^\circ + |\vec{n}|^2 = 4 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\)
\( + 3 = 4 — 6 + 3 = 1\).

Рассмотрим первое выражение \((3\vec{m} — 4\vec{n}) \cdot \vec{m}\). Для его вычисления нужно применить свойства скалярного произведения: оно линейно по каждому аргументу и распределяется по сложению. Значит, можно раскрыть скобки как \(3\vec{m} \cdot \vec{m} — 4\vec{n} \cdot \vec{m}\). Далее вычисляем каждое произведение отдельно. Скалярное произведение вектора с самим собой равно квадрату его длины, то есть \(\vec{m} \cdot \vec{m} = |\vec{m}|^2\), а скалярное произведение двух векторов через угол между ними вычисляется по формуле \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta\). Подставляем известные данные: длина \(\vec{m} = 2\), длина \(\vec{n} = \sqrt{3}\), угол между ними \(150^\circ\), и косинус этого угла равен \(\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Тогда первое слагаемое становится \(3 \cdot 2^2 = 12\), а второе \(-4 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\). Упростив второе, получаем \(+12\), так как минусы сокращаются. В итоге сумма равна \(12 + 12 = 24\).

Теперь рассмотрим второе выражение \((\vec{m} + \vec{n})^2\). Это скалярное произведение вектора \(\vec{m} + \vec{n}\) самого с собой, то есть \((\vec{m} + \vec{n}) \cdot (\vec{m} + \vec{n})\). Раскрываем скобки по дистрибутивному закону: \(\vec{m} \cdot \vec{m} + 2 \vec{m} \cdot \vec{n} + \vec{n} \cdot \vec{n}\). Первое и последнее слагаемые — квадраты длин векторов, равные \(4\) и \(3\) соответственно. Среднее слагаемое — удвоенное скалярное произведение \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\), которое равно \(2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 150^\circ\). Подставляем значение косинуса и получаем \(2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -6\). Складываем все: \(4 — 6 + 3 = 1\).

Таким образом, первое выражение равно \(24\), а второе — \(1\). Эти результаты получены с использованием базовых свойств скалярного произведения и знаний о длинах векторов и угле между ними.