ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.8 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) равен 60°, \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1\). Вычислите скалярное произведение \((5\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} — 5\vec{b})\).

Раскроем скобки: \( (5\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} — 5\vec{b}) = 5\vec{a} \cdot \vec{a} — 25\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} — 5\vec{b} \cdot \vec{b} \).

Упростим с учетом коммутативности скалярного произведения: \(= 5|\vec{a}|^2 — 24(\vec{a} \cdot \vec{b}) — 5|\vec{b}|^2\).

Подставим значения: \( |\vec{a}| = 1 \), \( |\vec{b}| = 1 \), \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \).

Получаем: \(5 \cdot 1 — 24 \cdot \frac{1}{2} — 5 \cdot 1 = 5 — 12 — 5 = -12\).

Ответ: \(-12\).

Для вычисления скалярного произведения \( (5\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} — 5\vec{b}) \) сначала раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения. Это произведение равно сумме произведений всех пар векторов из первой и второй скобок: \( 5\vec{a} \cdot \vec{a} \), \( 5\vec{a} \cdot (-5\vec{b}) \), \( \vec{b} \cdot \vec{a} \) и \( \vec{b} \cdot (-5\vec{b}) \). Запишем это как \( 5\vec{a} \cdot \vec{a} — 25\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} — 5\vec{b} \cdot \vec{b} \).

Следующий шаг — упростить выражение, учитывая, что скалярное произведение коммутативно, то есть \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \). Значит, можно заменить \( \vec{b} \cdot \vec{a} \) на \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) и получить \( 5|\vec{a}|^{2} — 24(\vec{a} \cdot \vec{b}) — 5|\vec{b}|^{2} \). Здесь \( |\vec{a}|^{2} \) и \( |\vec{b}|^{2} \) — это квадраты длин векторов, а \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) — скалярное произведение исходных векторов.

Теперь подставим известные значения: длины векторов равны 1, то есть \( |\vec{a}| = 1 \) и \( |\vec{b}| = 1 \), а угол между ними \( 60^\circ \), значит \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos 60^\circ = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \). Подставляя эти значения, получаем \( 5 \cdot 1^{2} — 24 \cdot \frac{1}{2} — 5 \cdot 1^{2} = 5 — 12 — 5 = -12 \). Таким образом, итоговое значение скалярного произведения равно \(-12\).