ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 5.9 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если:
1) \(\vec{a} = (1; -2; 3)\), \(\vec{b} = (2; -4; 3)\);
2) \(\vec{a} = (-9; 4; 5)\), \(\vec{b} = (3; -1; 4)\).

Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \).

Для первого случая \( \vec{a} = (1, -2, 3) \), \( \vec{b} = (2, -4, 3) \) получаем \( 1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-4) + 3 \cdot 3 = 2 + 8 + 9 = 19 \).

Для второго случая \( \vec{a} = (-9, 4, 5) \), \( \vec{b} = (3, -1, 4) \) получаем \( (-9) \cdot 3 + 4 \cdot (-1) + 5 \cdot 4 = -27 — 4 + 20 = -11 \).

Скалярное произведение двух векторов \( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \) и \( \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \) вычисляется по формуле \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \). Это означает, что нужно перемножить соответствующие компоненты векторов и сложить полученные произведения. Такой способ позволяет получить число, которое характеризует взаимное направление и длину векторов.

В первом случае даны векторы \( \vec{a} = (1, -2, 3) \) и \( \vec{b} = (2, -4, 3) \). Для вычисления скалярного произведения перемножаем первые компоненты: \( 1 \cdot 2 = 2 \). Затем перемножаем вторые компоненты: \( (-2) \cdot (-4) = 8 \), так как произведение двух отрицательных чисел положительно. Наконец, перемножаем третьи компоненты: \( 3 \cdot 3 = 9 \). Складываем все результаты: \( 2 + 8 + 9 = 19 \). Таким образом, скалярное произведение равно 19.

Во втором случае векторы \( \vec{a} = (-9, 4, 5) \) и \( \vec{b} = (3, -1, 4) \). Перемножаем первые компоненты: \( (-9) \cdot 3 = -27 \). Вторые компоненты: \( 4 \cdot (-1) = -4 \). Третьи компоненты: \( 5 \cdot 4 = 20 \). Складываем: \( -27 — 4 + 20 = -11 \). Результат отрицательный, что указывает на то, что угол между векторами больше 90 градусов.