ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 6.1 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Принадлежит ли плоскости \(3x — 2y + z + 4 = 0\) точка:

1) \(A (1; 2; -5)\);

2) \(B (4; -8; -4)\);

3) \(C (5; -1; -21)\)?

Подставляем координаты точек в уравнение плоскости \(3x — 2y + z + 4 = 0\).

Для точки \(A(1; 2; -5)\) получаем \(3 \cdot 1 — 2 \cdot 2 — 5 + 4 = 3 — 4 — 5 + 4 = -2 \neq 0\), значит \(A \notin\) плоскости.

Для точки \(B(4; -8; -4)\) получаем \(3 \cdot 4 + 2 \cdot 8 — 4 + 4 = 12 + 16 — 4 + 4 = 28 \neq 0\), значит \(B \notin\) плоскости.

Для точки \(C(5; -1; -21)\) получаем \(3 \cdot 5 + 2 \cdot 1 — 21 + 4 = 15 + 2 — 21 + 4 = 0\), значит \(C \in\) плоскости.

Для проверки принадлежности точки плоскости необходимо подставить координаты точки в уравнение плоскости и проверить, равняется ли выражение нулю. Уравнение плоскости задано как \(3x — 2y + z + 4 = 0\). Если при подстановке координат точки \( (x; y; z) \) левая часть уравнения равна нулю, значит точка лежит на плоскости. Если результат не равен нулю, точка плоскости не принадлежит.

Рассмотрим первую точку \(A(1; 2; -5)\). Подставляем координаты в уравнение: \(3 \cdot 1 — 2 \cdot 2 + (-5) + 4\). Считаем по шагам: \(3 \cdot 1 = 3\), \( -2 \cdot 2 = -4\), затем складываем: \(3 — 4 = -1\), прибавляем \(-5\), получается \(-6\), и прибавляем \(4\), получается \(-2\). Так как результат \(-2 \neq 0\), точка \(A\) не принадлежит плоскости.

Для второй точки \(B(4; -8; -4)\) подставляем: \(3 \cdot 4 — 2 \cdot (-8) + (-4) + 4\). Считаем: \(3 \cdot 4 = 12\), а \( -2 \cdot (-8) = 16\), складываем \(12 + 16 = 28\), прибавляем \(-4\), получается \(24\), и прибавляем \(4\), получается \(28\). Поскольку \(28 \neq 0\), точка \(B\) также не лежит на плоскости.

Для третьей точки \(C(5; -1; -21)\) подставляем: \(3 \cdot 5 — 2 \cdot (-1) + (-21) + 4\). Считаем: \(3 \cdot 5 = 15\), \( -2 \cdot (-1) = 2\), складываем \(15 + 2 = 17\), прибавляем \(-21\), получается \(-4\), и прибавляем \(4\), получается \(0\). Поскольку результат равен нулю, точка \(C\) лежит на плоскости.