ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 6.12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны точки \(M (3; a; -5)\) и \(K (7; 1; a)\). При каком значении \(a\) прямая \(MK\) параллельна плоскости \(4x — 3y + z — 6 = 0\)?

Даны точки \( M(3; a; -5) \) и \( K(7; 1; a) \). Найдём вектор \(\overrightarrow{MK}\):

\(\overrightarrow{MK} = (7 — 3; 1 — a; a — (-5)) = (4; 1 — a; a + 5)\).

Плоскость задана уравнением \(4x — 3y + z — 6 = 0\). Её нормальный вектор \(\mathbf{n} = (4; -3; 1)\).

Прямая параллельна плоскости, если вектор \(\overrightarrow{MK}\) перпендикулярен нормальному вектору плоскости:

\(\overrightarrow{MK} \cdot \mathbf{n} = 0\).

Вычислим скалярное произведение:

\(4 \cdot 4 + (1 — a)(-3) + (a + 5) \cdot 1 = 0\),

\(16 — 3 + 3a + a + 5 = 0\),

\(16 — 3 + 5 + 4a = 0\),

\(18 + 4a = 0\),

\(4a = -18\),

\(a = -\frac{18}{4} = -4.5\).

Ответ: \(a = -4.5\).

1. Даны точки \( M(3; a; -5) \) и \( K(7; 1; a) \). Для нахождения направления прямой \( MK \) нужно найти вектор, который соединяет эти точки. Вектор направлен от точки \( M \) к точке \( K \), поэтому координаты этого вектора находятся как разности соответствующих координат: \( x \)-координаты, \( y \)-координаты и \( z \)-координаты. Получаем вектор \(\overrightarrow{MK} = (7 — 3; 1 — a; a — (-5)) = (4; 1 — a; a + 5)\).

2. Плоскость задана уравнением \( 4x — 3y + z — 6 = 0 \). Коэффициенты при \( x, y, z \) в уравнении плоскости дают нормальный вектор к этой плоскости. Нормальный вектор обозначим как \(\mathbf{n} = (4; -3; 1)\). Чтобы прямая была параллельна плоскости, вектор направления прямой должен быть перпендикулярен нормальному вектору плоскости. Это условие записывается через скалярное произведение векторов: если \(\overrightarrow{MK} \cdot \mathbf{n} = 0\), то векторы перпендикулярны.

3. Найдём скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{MK} = (4; 1 — a; a + 5)\) и \(\mathbf{n} = (4; -3; 1)\):

\(4 \cdot 4 + (1 — a)(-3) + (a + 5) \cdot 1 = 0\).

Выполним умножение и сложение:

\(16 — 3 + 3a + a + 5 = 0\).

Сложим числа и переменные:

\(16 — 3 + 5 + 4a = 0\),

\(18 + 4a = 0\).

Решим уравнение относительно \( a \):

\(4a = -18\),

\(a = -\frac{18}{4} = -4.5\).

Ответ: \(a = -4,5\).