ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 6.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Параллельны ли плоскости:

1) \(x + 3y + 4z — 6 = 0\) и \(3x + 9y + 12z — 12 = 0\);

2) \(x — 6y + 5z — 2 = 0\) и \(2x + 3y — 4z + 6 = 0\)?

Параллельны:
\((1, 3, 4)\) и \((3, 9, 12)\), так как \((3, 9, 12) = 3(1, 3, 4)\)

Не параллельны:
\((1, -6, 5)\) и \((2, 3, -4)\), так как векторы не пропорциональны.

Рассмотрим две плоскости:
1) \(x + 3y + 4z — 6 = 0\) и \(3x + 9y + 12z — 12 = 0\)
Нормальный вектор первой плоскости: \(\vec{n_1} = (1, 3, 4)\)
Нормальный вектор второй плоскости: \(\vec{n_2} = (3, 9, 12)\)
Видно, что \(\vec{n_2} = 3\vec{n_1}\), следовательно, плоскости параллельны.

2) \(x — 6y + 5z — 2 = 0\) и \(2x + 3y — 4z + 6 = 0\)
Нормальный вектор первой плоскости: \(\vec{n_1} = (1, -6, 5)\)
Нормальный вектор второй плоскости: \(\vec{n_2} = (2, 3, -4)\)
Так как \(\vec{n_1}\) и \(\vec{n_2}\) не пропорциональны, плоскости не параллельны.