ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 6.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите угол между плоскостями \(2x — y + 2z — 3 = 0\) и \(x + 2y — 3z + 4 = 0\).

Угол между плоскостями \(2x — y + 2z — 3 = 0\) и \(x + 2y — 3z + 4 = 0\) равен \(arccos\left(\frac{\sqrt{21}}{14}\right) \approx 6.15^\circ\).

Угол между плоскостями \(2x — y + 2z — 3 = 0\) и \(x + 2y — 3z + 4 = 0\) равен \(\arccos\left(\frac{\sqrt{21}}{14}\right)\). Для нахождения этого угла можно использовать следующую формулу:

\(\theta = \arccos\left(\frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}\right)\)

где \(\vec{n_1}\) и \(\vec{n_2}\) — нормальные векторы к первой и второй плоскостям соответственно.

Для первой плоскости \(2x — y + 2z — 3 = 0\) нормальный вектор \(\vec{n_1} = (2, -1, 2)\). Для второй плоскости \(x + 2y — 3z + 4 = 0\) нормальный вектор \(\vec{n_2} = (1, 2, -3)\).

Подставляя эти векторы в формулу, получаем:

\(\theta = \arccos\left(\frac{|2 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 2 \cdot (-3)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}\sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2}}\right)\)
\(\theta = \arccos\left(\frac{|-4 + (-2) + (-6)|}{\sqrt{4 + 1 + 4}\sqrt{1 + 4 + 9}}\right)\)
\(\theta = \arccos\left(\frac{12}{\sqrt{9}\sqrt{14}}\right)\)
\(\theta = \arccos\left(\frac{12}{3\sqrt{14}}\right)\)
\(\theta \approx 6.15^\circ\)

Таким образом, угол между плоскостями \(2x — y + 2z — 3 = 0\) и \(x + 2y — 3z + 4 = 0\) равен \(arccos\left(\frac{\sqrt{21}}{14}\right) \approx 6.15^\circ\).