ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 6.16 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Перпендикулярны ли плоскости:

1) \(2x + 5y — z + 7 = 0\) и \(3x — 2y — 4z — 9 = 0\);

2) \(6x — y + 8 = 0\) и \(y — 6z — 8 = 0\)?

Чтобы определить, являются ли две плоскости перпендикулярными, мы можем использовать условие перпендикулярности плоскостей:

Две плоскости \(a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0\) и \(a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0\) являются перпендикулярными, если выполняется условие: \(a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0\)

1) \(2x + 5y — z + 7 = 0\) и \(3x — 2y — 4z — 9 = 0\) являются перпендикулярными, так как \(2*3 + 5*(-2) + (-1)*(-4) = 6 — 10 + 4 = 0\)

2) \(6x — y + 8 = 0\) и \(y — 6z — 8 = 0\) не являются перпендикулярными, так как \(6*0 + (-1)*1 + 0*(-6) = -1 \neq 0\)

Для определения перпендикулярности двух плоскостей мы можем использовать следующее условие: две плоскости \(a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0\) и \(a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0\) являются перпендикулярными, если выполняется условие \(a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0\). Рассмотрим два примера:

1) Плоскости \(2x + 5y — z + 7 = 0\) и \(3x — 2y — 4z — 9 = 0\):
— Коэффициенты первой плоскости: \(a_1 = 2, b_1 = 5, c_1 = -1\)
— Коэффициенты второй плоскости: \(a_2 = 3, b_2 = -2, c_2 = -4\)
— Проверяем условие перпендикулярности: \(a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 2*3 + 5*(-2) + (-1)*(-4) = 6 — 10 + 4 = 0\)
Таким образом, данные плоскости перпендикулярны.

2) Плоскости \(6x — y + 8 = 0\) и \(y — 6z — 8 = 0\):
— Коэффициенты первой плоскости: \(a_1 = 6, b_1 = -1, c_1 = 0\)
— Коэффициенты второй плоскости: \(a_2 = 0, b_2 = 1, c_2 = -6\)
— Проверяем условие перпендикулярности: \(a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 6*0 + (-1)*1 + 0*(-6) = -1 \neq 0\)
Таким образом, данные плоскости не перпендикулярны.

Вывод:
1) Плоскости \(2x + 5y — z + 7 = 0\) и \(3x — 2y — 4z — 9 = 0\) перпендикулярны.
2) Плоскости \(6x — y + 8 = 0\) и \(y — 6z — 8 = 0\) не перпендикулярны.