ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 6.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите уравнение образа плоскости \(x + y — z + 3 = 0\) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом \(k = -2\).

Дано уравнение плоскости \( x + y — z + 3 = 0 \).

При гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом \( k = -2 \) уравнение преобразуется так: каждую координату умножаем на \( k \).

Подставляем: \( x’ = kx = -2x \), \( y’ = -2y \), \( z’ = -2z \).

Подставим в исходное уравнение:

\( x + y — z + 3 = 0 \)

Замена переменных:

\( \frac{x’}{k} + \frac{y’}{k} — \frac{z’}{k} + 3 = 0 \)

Умножаем уравнение на \( k = -2 \):

\( x’ + y’ — z’ — 6 = 0 \)

Перепишем в стандартном виде:

\( x + y — z + 6 = 0 \)

Это уравнение образа плоскости при гомотетии.

Рассмотрим исходное уравнение плоскости, заданное в пространстве: \( x + y — z + 3 = 0 \). Это уравнение описывает множество точек \((x, y, z)\), которые лежат на плоскости с нормальным вектором \( \mathbf{n} = (1, 1, -1) \) и смещением, задаваемым свободным членом \( +3 \). При этом свободный член определяет расстояние плоскости от начала координат в направлении нормального вектора.

Теперь предположим, что мы применяем гомотетию с центром в начале координат и коэффициентом \( k = -2 \). Гомотетия — это преобразование, при котором каждая точка пространства перемещается вдоль луча, исходящего из центра гомотетии, с масштабированием расстояния до центра на коэффициент \( k \). В нашем случае это значит, что новая точка \((x’, y’, z’)\) связана с исходной точкой \((x, y, z)\) соотношением \( (x’, y’, z’) = (k x, k y, k z) \), то есть \( x’ = -2 x \), \( y’ = -2 y \), \( z’ = -2 z \).

Чтобы найти уравнение плоскости после преобразования, нужно выразить исходные координаты через новые: \( x = \frac{x’}{k} = \frac{x’}{-2} \), \( y = \frac{y’}{-2} \), \( z = \frac{z’}{-2} \). Подставим эти выражения в исходное уравнение: \( x + y — z + 3 = 0 \) станет

\[
\frac{x’}{-2} + \frac{y’}{-2} — \frac{z’}{-2} + 3 = 0.
\]

Умножим всё уравнение на \(-2\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[
x’ + y’ — z’ — 6 = 0.
\]

Таким образом, уравнение плоскости после гомотетии с коэффициентом \( k = -2 \) принимает вид

\[
x + y — z + 6 = 0,
\]

где \( (x, y, z) \) — новые координаты. Обратите внимание, что свободный член изменился с \( +3 \) на \( +6 \), что соответствует масштабированию расстояния плоскости от начала координат в два раза, а знак коэффициента \( k \) влияет на ориентацию пространства, но уравнение плоскости остаётся линейным и однородным по координатам.