ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 6.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что уравнение плоскости, параллельной оси аппликат, имеет вид \(ax + by + d = 0\). Какой вид имеет уравнение плоскости, параллельной:

1) оси абсцисс;

2) оси ординат?

Уравнение плоскости, проходящей через точки \(A(1, -2, 1)\) и \(B(4, 1, 3)\) параллельно оси \(y\), имеет вид:

\(3x + 3y + 2z + 1 = 0\)

Для получения этого уравнения мы:
1) Нашли нормальный вектор \(\vec{n} = \vec{AB} = (3, 3, 2)\)
2) Подставили координаты точки \(A\) в общее уравнение плоскости \(Ax + By + Cz + D = 0\), где \(A, B, C\) — координаты нормального вектора, а \(D\) — свободный член.

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через точки \(A(1, -2, 1)\) и \(B(4, 1, 3)\) параллельно оси \(y\), необходимо выполнить следующие шаги:

1) Найти вектор \(\vec{AB}\), соединяющий точки \(A\) и \(B\):
\(\vec{AB} = (4 — 1, 1 — (-2), 3 — 1) = (3, 3, 2)\)

2) Вектор \(\vec{AB}\) является нормальным вектором к искомой плоскости, так как плоскость параллельна оси \(y\).

3) Общее уравнение плоскости имеет вид \(Ax + By + Cz + D = 0\), где \(A, B, C\) — координаты нормального вектора, а \(D\) — свободный член.

4) Подставляя координаты точки \(A\) в уравнение, получаем:
\(3(1) + 3(-2) + 2(1) + D = 0\)
\(3 — 6 + 2 + D = 0\)
\(D = 1\)

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки \(A\) и \(B\) параллельно оси \(y\), имеет вид:

\(3x + 3y + 2z + 1 = 0\)