ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 6.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите расстояние от точки \(A (1; 2; -3)\) до плоскости \(x + 3y + 2z — 29 = 0\).

Расстояние от точки \( A(1; 2; -3) \) до плоскости \( x + 3y + 2z — 29 = 0 \) вычисляется по формуле

\[
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}},
\]

где \( A=1, B=3, C=2, D=-29 \), а \( (x_0, y_0, z_0) = (1, 2, -3) \).

Подставим значения:

\[
d = \frac{|1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) — 29|}{\sqrt{1^2 + 3^2 + 2^2}} = \frac{|1 + 6 — 6 — 29|}{\sqrt{1 + 9 + 4}} = \frac{|-28|}{\sqrt{14}} = \frac{28}{\sqrt{14}} = 2\sqrt{14}.
\]

Ответ: \( 2\sqrt{14} \).

Для нахождения расстояния от точки \( A(1; 2; -3) \) до плоскости заданной уравнением \( x + 3y + 2z — 29 = 0 \) используется формула расстояния от точки до плоскости. В общем виде уравнение плоскости записывается как \( Ax + By + Cz + D = 0 \), где \( A, B, C \) — коэффициенты при переменных, а \( D \) — свободный член. В нашем случае \( A = 1 \), \( B = 3 \), \( C = 2 \), \( D = -29 \). Точка имеет координаты \( (x_0, y_0, z_0) = (1; 2; -3) \).

Расстояние \( d \) от точки до плоскости вычисляется по формуле \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \). Эта формула отражает длину перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Числитель — это абсолютное значение подставленного в уравнение плоскости выражения с координатами точки, а знаменатель — длина нормального вектора плоскости, который равен \( \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \).

Подставим значения в формулу: числитель будет \( |1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) — 29| = |1 + 6 — 6 — 29| = |-28| = 28 \). Знаменатель равен \( \sqrt{1^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14} \). Следовательно, расстояние равно \( \frac{28}{\sqrt{14}} \). Упростим дробь: \( \frac{28}{\sqrt{14}} = \frac{28}{\sqrt{14}} \cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}} = \frac{28\sqrt{14}}{14} = 2\sqrt{14} \).

Ответ: расстояние от точки \( A \) до плоскости равно \( 2\sqrt{14} \).