ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 6.23 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите расстояние от начала координат до плоскости \(2x — y + 5z + 15 = 0\).

Расстояние от начала координат до плоскости \(2x — y + 5z + 15 = 0\) вычисляется по формуле

\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\),

где \(A=2\), \(B=-1\), \(C=5\), \(D=15\), а точка \( (x_0, y_0, z_0) = (0,0,0) \).

Подставляем:

\(d = \frac{|2 \cdot 0 — 1 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 15|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 5^2}} = \frac{15}{\sqrt{4 + 1 + 25}} = \frac{15}{\sqrt{30}}\).

Умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{30}\):

\(d = \frac{15 \sqrt{30}}{30} = \frac{\sqrt{30}}{2}\).

1. Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле \(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\), где \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) — коэффициенты уравнения плоскости \(Ax + By + Cz + D = 0\), а \((x_0, y_0, z_0)\) — координаты точки. В нашем случае плоскость задана уравнением \(2x — y + 5z + 15 = 0\), значит \(A = 2\), \(B = -1\), \(C = 5\), \(D = 15\), а точка — начало координат с координатами \((0, 0, 0)\).

2. Подставим координаты точки в числитель формулы: \(Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 2 \cdot 0 — 1 \cdot 0 + 5 \cdot 0 + 15 = 15\). Модуль этого выражения равен \(15\), так как число положительное. Далее найдём знаменатель — длину нормального вектора плоскости: \(\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 1 + 25} = \sqrt{30}\).

3. Теперь вычислим расстояние: \(d = \frac{15}{\sqrt{30}}\). Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{30}\), получим \(d = \frac{15 \sqrt{30}}{30}\). Сократим дробь: \(d = \frac{\sqrt{30}}{2}\). Таким образом, расстояние от начала координат до плоскости равно \(\frac{\sqrt{30}}{2}\).