ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 6.24 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки \(A (1; 2; 3)\), \(B (4; 1; 2)\) и \(C (2; -1; 1)\).

Даны точки \( A(1; 2; 3) \), \( B(4; 1; 2) \), \( C(2; -1; 1) \).

Вычисляем векторы:
\(\overrightarrow{AB} = (4 — 1; 1 — 2; 2 — 3) = (3; -1; -1)\),
\(\overrightarrow{AC} = (2 — 1; -1 — 2; 1 — 3) = (1; -3; -2)\).

Находим векторное произведение \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\):

\(\overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & -2 \end{vmatrix} = ( (-1)(-2) — (-1)(-3); -(3(-2) — (-1)(1)); 3(-3) — (-1)(1) ) = (2 — 3; -( -6 + 1); -9 + 1) = (-1; 5; -8)\).

Уравнение плоскости: \( -1(x — 1) + 5(y — 2) — 8(z — 3) = 0 \).

Раскрываем скобки: \(-x + 1 + 5y — 10 — 8z + 24 = 0\).

Собираем: \(-x + 5y — 8z + 15 = 0\).

Умножаем на \(-1\): \(x — 5y + 8z — 15 = 0\).

Даны три точки \( A(1; 2; 3) \), \( B(4; 1; 2) \), \( C(2; -1; 1) \), через которые проходит искомая плоскость. Чтобы составить уравнение плоскости, нужно найти вектор нормали к плоскости. Для этого сначала вычислим два вектора, лежащих в плоскости: \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\). Вектор \(\overrightarrow{AB}\) равен разности координат точки \(B\) и точки \(A\), то есть \(\overrightarrow{AB} = (4 — 1; 1 — 2; 2 — 3) = (3; -1; -1)\). Аналогично, вектор \(\overrightarrow{AC}\) равен \(\overrightarrow{AC} = (2 — 1; -1 — 2; 1 — 3) = (1; -3; -2)\).

Следующий шаг — найти векторное произведение этих двух векторов, которое даст нам вектор нормали \(\overrightarrow{n}\) к плоскости. Векторное произведение вычисляется по формуле определителя: \(\overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & -2 \end{vmatrix}\). Раскроем этот определитель по первой строке: для компоненты при \(\mathbf{i}\) получаем \((-1)(-2) — (-1)(-3) = 2 — 3 = -1\), для компоненты при \(\mathbf{j}\) — минус \((3(-2) — (-1)(1)) = -( -6 + 1) = 5\), для компоненты при \(\mathbf{k}\) — \(3(-3) — (-1)(1) = -9 + 1 = -8\). Таким образом, вектор нормали \(\overrightarrow{n} = (-1; 5; -8)\).

Уравнение плоскости записывается в виде \(a(x — x_0) + b(y — y_0) + c(z — z_0) = 0\), где \((a; b; c)\) — координаты вектора нормали, а \((x_0; y_0; z_0)\) — координаты одной из точек плоскости, например, точки \(A(1; 2; 3)\). Подставляем: \(-1(x — 1) + 5(y — 2) — 8(z — 3) = 0\). Раскрываем скобки: \(-x + 1 + 5y — 10 — 8z + 24 = 0\). Суммируем свободные члены: \(1 — 10 + 24 = 15\). Получаем уравнение: \(-x + 5y — 8z + 15 = 0\). Умножаем на \(-1\) для удобства: \(x — 5y + 8z — 15 = 0\). Это и есть уравнение плоскости, проходящей через заданные точки.