ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 6.25 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), ребро которого равно 4 см. Точки \(M\) и \(K\) — середины рёбер \(AD\) и \(BB_1\), соответственно. На ребре \(CD\) отметили точку \(E\), а на его продолжении за точку \(D\) — точку \(F\) так, что \(DE = 1\) см, а точка \(D\) — середина отрезка \(CF\). Докажите, что прямая \(KF\) перпендикулярна плоскости \(MD_1E\).

Для доказательства, что прямая KF перпендикулярна плоскости MD1E, можно показать, что вектор KF перпендикулярен вектору нормали к этой плоскости.

Вектор нормали к плоскости MD1E равен \(\vec{n} = \vec{MD_1} \times \vec{ME} = (0, -8, 0)\).

Вектор \(\vec{KF} = \vec{KB_1} + \vec{DF} = (0, 4, 1)\).

Скалярное произведение векторов \(\vec{KF}\) и \(\vec{n}\) равно нулю: \(\vec{KF} \cdot \vec{n} = 0 + (-32) + 0 = 0\).

Следовательно, прямая KF перпендикулярна плоскости MD1E.

Для доказательства того, что прямая KF перпендикулярна плоскости MD1E, можно использовать следующие рассуждения. Во-первых, необходимо найти вектор нормали к плоскости MD1E. Этот вектор будет перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. Вектор нормали \(\vec{n}\) можно найти как векторное произведение векторов \(\vec{MD_1}\) и \(\vec{ME}\), то есть \(\vec{n} = \vec{MD_1} \times \vec{ME}\). Вектор \(\vec{MD_1}\) имеет координаты \((0, 0, 4)\), а вектор \(\vec{ME}\) имеет координаты \((2, 0, 2)\). Таким образом, вектор нормали \(\vec{n}\) будет иметь координаты \((0, -8, 0)\).

Далее, необходимо найти вектор \(\vec{KF}\). Этот вектор можно представить как сумму векторов \(\vec{KB_1}\) и \(\vec{DF}\), то есть \(\vec{KF} = \vec{KB_1} + \vec{DF}\). Вектор \(\vec{KB_1}\) имеет координаты \((0, 4, 0)\), а вектор \(\vec{DF}\) имеет координаты \((0, 0, 1)\). Следовательно, вектор \(\vec{KF}\) будет иметь координаты \((0, 4, 1)\).

Теперь, чтобы доказать, что прямая KF перпендикулярна плоскости MD1E, необходимо показать, что вектор \(\vec{KF}\) перпендикулярен вектору нормали \(\vec{n}\). Для этого достаточно вычислить скалярное произведение этих векторов: \(\vec{KF} \cdot \vec{n} = 0 + (-32) + 0 = 0\). Таким образом, вектор \(\vec{KF}\) перпендикулярен вектору \(\vec{n}\), а значит, прямая KF перпендикулярна плоскости MD1E.