ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 6.29 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды, равен 6 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

1. \(6 — \frac{cdB}{\sqrt{3}} \Rightarrow cdB = 6\sqrt{3} \, (\text{см}) \Rightarrow cdH = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 9 \, (\text{см})\)

2. \(\triangle dDO: \tan 30^\circ = \frac{DO}{dO} \Rightarrow DO = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 6 = 2\sqrt{3} \, (\text{см})\)

3. \(\triangle DOH: DH^{2} = DO^{2} + OH^{2}\)
\(DH = \sqrt{12 + 9} = \sqrt{21} \, (\text{см})\)

4. \(p = \frac{3 \cdot 6 \sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \, (\text{см})\)

5. \(S_{\text{бок. н.}} = \frac{p}{2} \cdot DH = 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{21} = 27\sqrt{7} \, (\text{см}^{2})\)

1. Для начала, выражение \(6 — \frac{cdB}{\sqrt{3}}\) показывает, что мы ищем длину отрезка \(cdB\) в треугольнике, используя известное значение стороны и угол, связанный с корнем из трёх. Из уравнения следует: \(cdB = 6\sqrt{3}\) (единицы измерения — сантиметры). Далее, чтобы найти \(cdH\), мы используем формулу: \(cdH = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}\). Здесь перемножается длина \(cdB\) на \(\sqrt{3}\), а затем делится на 2, что соответствует преобразованию высоты в правильном треугольнике. Получается \(cdH = 9\) (см).

2. Переходим к треугольнику \(dDO\). Используется тангенс угла \(30^\circ\), который равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \(\tan 30^\circ = \frac{DO}{dO}\). Подставляем значения: \(DO = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 6\). Здесь \(\sqrt{3}/3\) — это значение тангенса \(30^\circ\), а 6 — это длина стороны, связанной с основанием. После умножения получаем: \(DO = 2\sqrt{3}\) (см).

3. В треугольнике \(DOH\) применяется теорема Пифагора для вычисления гипотенузы \(DH\): \(DH^{2} = DO^{2} + OH^{2}\). Здесь \(DO\) уже найдено, а \(OH\) — высота, равная 3 см, возведённая в квадрат. Суммируем квадраты: \(DH^{2} = 12 + 9\), откуда \(DH = \sqrt{21}\) (см). Это значение используется для дальнейших вычислений площади боковой поверхности.

4. Периметр основания вычисляется по формуле: \(p = \frac{3 \cdot 6 \sqrt{3}}{2}\). Здесь 3 — количество сторон, 6 — длина стороны, \(\sqrt{3}\) — коэффициент, связанный с углом или высотой, а деление на 2 связано с особенностями расчёта для правильного треугольника. После вычислений получаем: \(p = 9\sqrt{3}\) (см).

5. Площадь боковой поверхности находится по формуле: \(S_{\text{бок. н.}} = \frac{p}{2} \cdot DH\). Подставляем ранее найденные значения: \(\frac{9\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{21}\). После упрощения произведения получаем итоговое значение площади: \(S_{\text{бок. н.}} = 27\sqrt{7}\) (см\(^{2}\)).