ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 6.6 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку \(A (3; -1; 2)\) и перпендикулярной прямой \(BC\), если:

1) \(B (2; 0; -3), C(4; -1; -5)\);

2) \(B (6; -7; -2), C (9; -5; 1)\).

Для первого случая:
Уравнение плоскости: \(-7x — 5y — z + 18 = 0\)

Для второго случая:
Уравнение плоскости: \(-4x — 18y + 3z — 12 = 0\)

Решение основано на нахождении нормального вектора к плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной прямой, заданной двумя точками.

Для первого случая:
Точки A(3, -1, 2), B(2, 0, -3) и C(4, -1, -5) задают плоскость в пространстве. Для нахождения уравнения этой плоскости необходимо найти нормальный вектор к ней. Вектор \(\vec{AB} = (2 — 3, 0 — (-1), -3 — 2) = (-1, 1, -5)\) и вектор \(\vec{AC} = (4 — 3, -1 — (-1), -5 — 2) = (1, 0, -7)\). Нормальный вектор \(\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (-7, -5, -1)\). Таким образом, уравнение плоскости имеет вид \(-7x — 5y — z + 18 = 0\).

Для второго случая:
Точки A(3, -1, 2), B(6, -7, -2) и C(9, -5, 1) также задают плоскость в пространстве. Вектор \(\vec{AB} = (6 — 3, -7 — (-1), -2 — 2) = (3, -6, -4)\) и вектор \(\vec{AC} = (9 — 3, -5 — (-1), 1 — 2) = (6, -4, -1)\). Нормальный вектор \(\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (-4, -18, 3)\). Следовательно, уравнение плоскости имеет вид \(-4x — 18y + 3z — 12 = 0\).

Ключевым моментом в решении является нахождение нормального вектора к плоскости, проходящей через три заданные точки. Затем, используя координаты точек и компоненты нормального вектора, можно записать уравнение плоскости в стандартном виде.