ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 7.10 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диагональ развёртки боковой поверхности цилиндра равна \(d\) и образует с одной из сторон развёртки угол \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Диагональ развёртки равна \(d\), угол между диагональю и стороной — \(\alpha\).

Стороны развёртки: \(h = d \cos\alpha\), \(n = d \sin\alpha\).

Площадь боковой поверхности цилиндра: \(S_{бок.} = h n = d \cos\alpha \cdot d \sin\alpha = d^2 \sin\alpha \cos\alpha\).

Так как \(2 \sin\alpha \cos\alpha = \sin 2\alpha\), получаем \(d^2 \sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2} d^2 \sin 2\alpha\).

Ответ: \(\frac{1}{2} d^2 \sin 2\alpha\).

Пусть в треугольнике \(ABC\) известна длина стороны \(d\) и угол \(\alpha\) при вершине \(A\). По определению синуса угла: \(\sin\alpha = \frac{BC}{d}\), отсюда получаем, что длина основания развёртки равна \(n = BC = \sin\alpha \cdot d\). Аналогично, по определению косинуса: \(\cos\alpha = \frac{AB}{d}\), следовательно, высота прямоугольника равна \(h = AB = d \cdot \cos\alpha\).

Площадь боковой поверхности цилиндра, если его развёртка — прямоугольник, вычисляется как произведение основания на высоту: \(S_{бок.} = n h = d \sin\alpha \cdot d \cos\alpha = d^{2} \sin\alpha \cos\alpha\). Для упрощения выражения используем формулу двойного угла для синуса: \(2 \sin\alpha \cos\alpha = \sin 2\alpha\), поэтому \(d^{2} \sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2} d^{2} \sin 2\alpha\).

Таким образом, окончательная формула для площади боковой поверхности цилиндра через заданные параметры треугольника имеет вид: \(\frac{1}{2} d^{2} \sin 2\alpha\).