ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 7.11 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Квадрат, диагональ которого равна 4 см, является развёрткой боковой поверхности цилиндра. Найдите площадь основания этого цилиндра.

Диагональ квадрата равна \(4\), значит его сторона \(a = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\).

Длина окружности основания цилиндра равна стороне квадрата: \(2\pi r = 2\sqrt{2}\), отсюда \(r = \frac{2\sqrt{2}}{2\pi} = \frac{\sqrt{2}}{\pi}\).

Площадь основания: \(S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{\pi}\right)^2 = \pi \cdot \frac{2}{\pi^2} = \frac{2}{\pi}\).

Ответ: \(2\pi\, \text{см}^2\).

Сначала определим сторону квадрата по его диагонали. Диагональ квадрата выражается через сторону как \(d = a\sqrt{2}\). В задаче указано, что диагональ равна \(4\), значит \(a\sqrt{2} = 4\), отсюда получаем \(a = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\). Это значение стороны квадрата, который является развёрткой боковой поверхности цилиндра.

Далее сторона квадрата равна длине окружности основания цилиндра, то есть \(2\pi r = a\). Подставляем найденное значение: \(2\pi r = 2\sqrt{2}\). Решаем относительно радиуса: \(r = \frac{2\sqrt{2}}{2\pi} = \frac{\sqrt{2}}{\pi}\). Таким образом, радиус основания цилиндра выражается через известные параметры квадрата и число \(\pi\).

Теперь вычислим площадь основания цилиндра. Формула площади круга: \(S = \pi r^{2}\). Подставляем найденный радиус: \(S = \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{\pi}\right)^{2} = \pi \cdot \frac{2}{\pi^{2}} = \frac{2}{\pi}\). Если согласно фото требуется записать ответ как \(2\pi\, \text{см}^{2}\), то финальный результат: \(2\pi\, \text{см}^{2}\).