ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 7.12 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Как изменится, увеличится или уменьшится, и во сколько раз площадь боковой поверхности цилиндра, если:

1) радиус его основания увеличить в \(k\) раз;

2) высоту цилиндра уменьшить в \(k\) раз;

3) высоту цилиндра увеличить в \(k\) раз, а радиус основания — уменьшить в \(k\) раз?

Какой функцией является зависимость площади боковой поверхности цилиндра от: 1) радиуса его основания; 2) высоты цилиндра?

Площадь боковой поверхности цилиндра: \(S = 2\pi rh\).

1) Если радиус увеличить в \(k\) раз:
\(S_1 = 2\pi (kr)h = k \cdot 2\pi rh\).
Ответ: увеличится в \(k\) раз.

2) Если высоту уменьшить в \(k\) раз:
\(S_2 = 2\pi r \frac{h}{k} = \frac{1}{k} \cdot 2\pi rh\).
Ответ: уменьшится в \(k\) раз.

3) Если высоту увеличить в \(k\) раз, а радиус уменьшить в \(k\) раз:
\(S_3 = 2\pi \frac{r}{k} (kh) = 2\pi rh\).
Ответ: не изменится.

Зависимость площади боковой поверхности от радиуса и высоты — прямопропорциональная.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(S = 2\pi r h\), где \(r\) — радиус основания, а \(h\) — высота цилиндра. Если радиус основания увеличить в \(k\) раз, то новый радиус будет равен \(kr\), а высота останется прежней. Подставляя значения, получаем новую площадь: \(S_1 = 2\pi (kr) h = 2\pi k r h = k \cdot 2\pi r h\). Это значит, что площадь увеличится ровно в \(k\) раз по сравнению с исходной.

Если высоту цилиндра уменьшить в \(k\) раз, новый размер высоты будет \(\frac{h}{k}\), а радиус останется прежним. Формула для площади примет вид: \(S_2 = 2\pi r \frac{h}{k} = \frac{1}{k} \cdot 2\pi r h\). Таким образом, площадь боковой поверхности уменьшится в \(k\) раз относительно начального значения.

Если радиус основания уменьшить в \(k\) раз (\(r_2 = \frac{r}{k}\)), а высоту увеличить в \(k\) раз (\(h_2 = k h\)), то новая площадь будет: \(S_3 = 2\pi \frac{r}{k} \cdot k h = 2\pi r h\). В этом случае произведение радиуса и высоты остаётся неизменным, поэтому площадь боковой поверхности не изменится.

Зависимость площади боковой поверхности цилиндра от радиуса основания и от высоты является прямопропорциональной, потому что в формуле \(S = 2\pi r h\) оба параметра — радиус и высота — стоят в первой степени и умножаются друг на друга. Если один из них увеличивается или уменьшается во столько-то раз, площадь изменяется пропорционально этому изменению.