ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 7.13 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Диаметр основания цилиндра больше его высоты, а угол между диагоналями осевого сечения равен \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь его основания равна \(S\).

Площадь основания цилиндра: \( S = \pi r^2 \), значит \( r = \sqrt{\frac{S}{\pi}} \).

Высота цилиндра через угол: \( \tan \alpha = \frac{h}{2r} \), поэтому \( h = 2r \tan \alpha = 2 \sqrt{\frac{S}{\pi}} \tan \alpha \).

Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = 2\pi r h = 2\pi \sqrt{\frac{S}{\pi}} \cdot 2 \sqrt{\frac{S}{\pi}} \tan \alpha = 4S \tan \alpha \).

Площадь основания цилиндра обозначим через \( S \). По формуле площади круга имеем: \( S = \pi r^{2} \), отсюда выражаем радиус основания: \( r = \sqrt{\frac{S}{\pi}} \).

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна диаметру основания \( 2r \), а другая — высоте \( h \). Диагонали этого прямоугольника пересекаются под углом \( \alpha \). Из геометрических соображений, тангенс угла между диагоналями равен отношению высоты к диаметру основания: \( \tan \alpha = \frac{h}{2r} \), откуда находим высоту: \( h = 2r \tan \alpha \). Подставляем выражение для радиуса: \( h = 2 \sqrt{\frac{S}{\pi}} \tan \alpha \).

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \( S_{бок} = 2\pi r h \). Подставим найденные значения радиуса и высоты: \( S_{бок} = 2\pi \sqrt{\frac{S}{\pi}} \cdot 2 \sqrt{\frac{S}{\pi}} \tan \alpha \). Перемножая, получаем: \( S_{бок} = 4\pi \frac{S}{\pi} \tan \alpha \). Сокращая \( \pi \), окончательно получаем: \( S_{бок} = 4S \tan \alpha \).