ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 7.15 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом 120°, а из центра верхнего основания — под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если длина данной хорды равна 6 см.

В основании цилиндра хорда \(AB = 6\) см видна из центра основания под углом \(120^\circ\). По теореме косинусов:
\(6^2 = 2r^2 — 2r^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\),
откуда \(36 = 2r^2 + r^2\),
\(r^2 = 12\),
\(r = 2\sqrt{3}\) см.

Высота цилиндра:
\(\tan 30^\circ = \frac{AB}{OO_1}\),
\(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{6}{h}\),
\(h = 6\) см.

Площадь боковой поверхности:
\(S_{бок.} = 2\pi r h = 2\pi \cdot 2\sqrt{3} \cdot 6 = 24\sqrt{3}\pi\) см\(^2\).

Пусть радиус основания цилиндра равен \(r\). Хорда \(AB\) видна из центра основания \(O\) под углом \(120^\circ\), а ее длина \(6\) см. По теореме косинусов для треугольника \(OAB\) имеем: \(AB^{2} = OA^{2} + OB^{2} — 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos 120^\circ\). Подставим значения: \(6^{2} = r^{2} + r^{2} — 2r^{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\), так как \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\). Получаем: \(36 = 2r^{2} + r^{2} = 3r^{2}\), откуда \(r^{2} = 12\), значит, \(r = 2\sqrt{3}\) см.

Рассмотрим теперь, как эта же хорда видна из центра верхнего основания \(O_{1}\) под углом \(60^\circ\). Соединим точки \(O\) и \(O_{1}\), высота цилиндра \(h = OO_{1}\). Треугольник \(AO_{1}B\) — равнобедренный, так как \(O_{1}A = O_{1}B\), а угол при вершине \(O_{1}\) равен \(60^\circ\). В этом треугольнике применим определение синуса: \(\sin 60^\circ = \frac{AB}{AO_{1}B}\), но проще использовать тангенс половины угла, так как из центра основания угол \(120^\circ\), а из центра верхнего основания — \(60^\circ\), и ось цилиндра перпендикулярна основанию. По построению, расстояние между центрами оснований равно высоте цилиндра. Тогда \(\tan 30^\circ = \frac{AB}{h}\), так как проекция хорды на плоскость, перпендикулярную оси цилиндра, видна под углом \(30^\circ\) к оси (половина разности углов обзора). Получаем: \(\tan 30^\circ = \frac{6}{h}\), отсюда \(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{6}{h}\), тогда \(h = 6 \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}/\sqrt{3} = 6\) см.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(S_{бок.} = 2\pi r h\). Подставляем найденные значения: \(S_{бок.} = 2\pi \cdot 2\sqrt{3} \cdot 6 = 4\pi\sqrt{3} \cdot 6 = 24\sqrt{3}\pi\) см². Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна \(24\sqrt{3}\pi\) см².