ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 7.17 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом \(\alpha\). Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с одним из концов проведённой хорды, образует с плоскостью основания угол \(\beta\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если расстояние от центра нижнего основания до проведённой хорды равно \(a\).

В треугольнике \(СОД\): \(\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{a}{EO}\), откуда \(EO = \frac{a}{\cos\frac{\alpha}{2}}\).

Высота цилиндра: \(OO_1 = EO \cdot \tan\beta = \frac{a}{\cos\frac{\alpha}{2}} \cdot \tan\beta\).

Площадь боковой поверхности: \(S_{бок.п.} = 2\pi r h = 2\pi \cdot \frac{a}{\cos\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{a \tan\beta}{\cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{2\pi a^2 \tan\beta}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}\).

Для начала рассмотрим треугольник \(СОД\), где точка \(E\) лежит на боковой поверхности цилиндра, а \(O\) — центр основания. В этом треугольнике угол при вершине \(O\) равен \(\frac{\alpha}{2}\), а сторона \(a\) противоположна этому углу. По определению косинуса: \(\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{a}{EO}\). Отсюда выражаем длину \(EO\) как \(EO = \frac{a}{\cos\frac{\alpha}{2}}\). Это значение соответствует радиусу основания цилиндра, то есть \(r = \frac{a}{\cos\frac{\alpha}{2}}\).

Далее определим высоту цилиндра. Из геометрических соображений видно, что высота цилиндра \(OO_1\) выражается через радиус и угол наклона образующей к основанию, который равен \(\beta\). По определению тангенса: \(\tan\beta = \frac{OO_1}{EO}\), откуда \(OO_1 = EO \cdot \tan\beta\). Подставляя найденное ранее значение \(EO\), получаем \(OO_1 = \frac{a}{\cos\frac{\alpha}{2}} \cdot \tan\beta\). Это и есть высота цилиндра \(h\).

Теперь вычислим площадь боковой поверхности цилиндра. Формула площади боковой поверхности цилиндра: \(S_{бок.п.} = 2\pi r h\). Подставляем ранее найденные значения радиуса и высоты: \(r = \frac{a}{\cos\frac{\alpha}{2}}\), \(h = \frac{a \tan\beta}{\cos\frac{\alpha}{2}}\). Получаем: \(S_{бок.п.} = 2\pi \cdot \frac{a}{\cos\frac{\alpha}{2}} \cdot \frac{a \tan\beta}{\cos\frac{\alpha}{2}}\). Упрощая выражение, окончательно записываем ответ: \(S_{бок.п.} = \frac{2\pi a^{2} \tan\beta}{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}\).