ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 7.18 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которую видно из центра этого основания под углом \(\beta\). Отрезок, соединяющий центр верхнего основания и середину данной хорды, равен \(m\) и образует с плоскостью основания угол \(\alpha\). Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

В треугольнике \(O_2OK\) по определению синуса: \(\sin \alpha = \frac{O_1O_2}{m}\), отсюда \(O_1O_2 = m \sin \alpha = h\).

Отрезок \(OK = m \cos \alpha\).

В треугольнике \(AOK\): \(\tan \frac{\beta}{2} = \frac{AK}{OK}\), отсюда \(AK = OK \tan \frac{\beta}{2}\).

Хорда \(AB = 2AK = 2 OK \tan \frac{\beta}{2}\).

Площадь боковой поверхности цилиндра: \(S_{бок} = 2 \pi r h\).

\(r = OK = m \cos \alpha\), \(h = m \sin \alpha\).

Подставляем: \(S_{бок} = 2 \pi m \cos \alpha \cdot m \sin \alpha\).

Так как \(m \cos \alpha = \frac{m \sin \alpha}{\cos \frac{\beta}{2}}\), получаем:

\(S_{бок} = \frac{\pi m^2 \sin 2\alpha}{\cos \frac{\beta}{2}}\).

Пусть высота цилиндра равна \(h\), радиус основания — \(r\). По условию, отрезок \(O_2K\) равен \(m\), а угол между этим отрезком и плоскостью основания — \(\alpha\). Тогда проекция \(O_2K\) на основание равна \(OK = m \cos \alpha\), а высота цилиндра \(O_1O_2\) равна \(h = m \sin \alpha\), так как \(\sin \alpha = \frac{O_1O_2}{m}\).

В основании цилиндра проведена хорда \(AB\), которую видно из центра основания \(O_1\) под углом \(\beta\). Середина этой хорды — точка \(K\). В треугольнике \(AOK\) угол при \(O_1\) равен \(\frac{\beta}{2}\), поэтому \(\tan \frac{\beta}{2} = \frac{AK}{OK}\), откуда \(AK = OK \tan \frac{\beta}{2}\). Тогда длина хорды равна \(AB = 2AK = 2 OK \tan \frac{\beta}{2}\).

Хорда \(AB\) также выражается через радиус основания: \(AB = 2r \sin \frac{\beta}{2}\). Приравнивая два выражения для длины хорды, получаем \(2r \sin \frac{\beta}{2} = 2 OK \tan \frac{\beta}{2}\), откуда \(r = OK \frac{\tan \frac{\beta}{2}}{\sin \frac{\beta}{2}}\). Подставляя \(OK = m \cos \alpha\), получаем \(r = m \cos \alpha \frac{\tan \frac{\beta}{2}}{\sin \frac{\beta}{2}}\).

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле \(S_{бок} = 2 \pi r h\). Подставляем найденные значения: \(r = m \cos \alpha \frac{\tan \frac{\beta}{2}}{\sin \frac{\beta}{2}}\) и \(h = m \sin \alpha\). Тогда \(S_{бок} = 2 \pi m \cos \alpha \frac{\tan \frac{\beta}{2}}{\sin \frac{\beta}{2}} m \sin \alpha\). Преобразуем выражение, используя формулу двойного угла: \(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\), и учитывая, что \(\frac{\tan \frac{\beta}{2}}{\sin \frac{\beta}{2}} = \frac{1}{\cos \frac{\beta}{2}}\), окончательно получаем

\(S_{бок} = \frac{\pi m^{2} \sin 2\alpha}{\cos \frac{\beta}{2}}\).