ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 7.19 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Вокруг какой из сторон прямоугольника, большей или меньшей, надо его вращать, чтобы получить цилиндр с большей площадью: 1) боковой поверхности; 2) полной поверхности?

Площадь боковой поверхности цилиндра, полученного вращением прямоугольника, не зависит от того, вокруг какой стороны осуществляется вращение.

Вокруг меньшей стороны.

Пусть стороны прямоугольника равны \(a\) и \(b\), где \(a > b\). Если вращать прямоугольник вокруг стороны \(a\), то высота цилиндра будет \(a\), а радиус основания будет \(\frac{b}{2\pi}\). Если вращать вокруг стороны \(b\), то высота будет \(b\), а радиус \(\frac{a}{2\pi}\).

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: \(S_{бок} = 2\pi R h\), где \(R\) — радиус основания, \(h\) — высота. Подставляя значения, получаем для обоих случаев: \(S_{бок} = 2\pi \cdot \frac{b}{2\pi} \cdot a = ab\) и \(S_{бок} = 2\pi \cdot \frac{a}{2\pi} \cdot b = ab\). Таким образом, площадь боковой поверхности одинакова независимо от выбранной стороны для вращения.

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме боковой поверхности и площадей двух оснований: \(S_{полн} = 2\pi R h + 2\pi R^{2}\). Если вращать вокруг меньшей стороны \(b\), то радиус будет больше (\(\frac{a}{2\pi}\)), а значит, площадь оснований будет больше, чем при вращении вокруг большей стороны. Следовательно, максимальная площадь полной поверхности получается при вращении вокруг меньшей стороны прямоугольника.