ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 7.20 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Параллельно оси цилиндра, радиус основания которого равен 10 см, а высота — 12 см, проведено сечение, являющееся квадратом. Найдите расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.

Дано: радиус основания цилиндра \( r = 10 \) см, высота \( h = 12 \) см, сечение — квадрат.

Пусть \( ed = OK \), тогда \( ed = r = 10 \) см.

Сторона квадрата \( AB = AD = 12 \) см, значит \( AK = 6 \) см.

По теореме Пифагора: \( OK^2 = edO^2 — edK^2 \).

\( OK = \sqrt{10^2 — 6^2} = \sqrt{100 — 36} = 8 \) см.

Рассмотрим цилиндр с радиусом основания \( r = 10 \) см и высотой \( h = 12 \) см. Внутри цилиндра проведено сечение, параллельное его оси, которое является квадратом со стороной \( 12 \) см. Такое сечение пересекает основание цилиндра по хорде, а сама плоскость квадрата располагается на определённом расстоянии от оси цилиндра. Требуется найти это расстояние.

Обозначим расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения через \( OK \). Заметим, что если провести из центра основания цилиндра (точка \( O \)) перпендикуляр к стороне квадрата в плоскости основания, он пересечёт хорду квадрата в точке \( K \), которая лежит на расстоянии половины стороны квадрата от центра, то есть \( AK = \frac{12}{2} = 6 \) см. Таким образом, треугольник \( OAK \) прямоугольный, где \( OA = r = 10 \) см — радиус основания, а \( AK = 6 \) см — половина стороны квадрата.

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника \( OAK \): \( OK^2 = OA^2 — AK^2 \). Подставим значения: \( OK^2 = 10^2 — 6^2 \). Это даёт \( OK^2 = 100 — 36 = 64 \). Следовательно, \( OK = \sqrt{64} = 8 \) см.

Итак, расстояние от оси цилиндра до плоскости квадратного сечения равно \( 8 \) см. Это значение получено через геометрические построения и применение теоремы Пифагора для соответствующего прямоугольного треугольника, образованного радиусом основания, половиной стороны квадрата и искомым расстоянием.