ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 7.21 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна \(\alpha\) (\(0^\circ < \alpha < 180^\circ\)). Отрезок, соединяющий центр верхнего основания цилиндра с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью основания угол \(\beta\), а радиус основания равен \(R\). Найдите площадь сечения.

В треугольнике \(AOO_1\): \(\tan \beta = \frac{OO_1}{R}\), значит \(OO_1 = R \tan \beta\).

В треугольнике \(O_1OB\) по теореме косинусов: \(AB^2 = O_1O^2 + OB^2 — 2 O_1O \cdot OB \cos \alpha\), значит \(AB = \sqrt{2R^2 — 2R^2 \cos \alpha} = 2R \sin \frac{\alpha}{2}\).

Площадь сечения: \(S_{ABCO} = AB \cdot OO_1 = 2R \sin \frac{\alpha}{2} \cdot R \tan \beta = 2R^2 \sin \frac{\alpha}{2} \tan \beta\).

Пусть радиус основания цилиндра равен \(R\), угол дуги основания \(\alpha\), а угол между отрезком, соединяющим центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, и плоскостью основания равен \(\beta\). Сначала рассмотрим треугольник \(AOO_1\), где \(O\) — центр нижнего основания, \(O_1\) — центр верхнего основания, а \(A\) — точка на окружности основания. В этом треугольнике катет \(OO_1\) — это высота цилиндра, а другой катет \(OA = R\). По определению тангенса острого угла: \(\tan \beta = \frac{OO_1}{R}\), значит, отсюда \(OO_1 = R \tan \beta\).

Теперь рассмотрим треугольник \(O_1OB\), где \(B\) — вторая точка на окружности основания, между которыми дуга составляет угол \(\alpha\). Здесь \(O_1O = OB = R\), а угол между ними — \(\alpha\). По теореме косинусов: \(AB^2 = O_1O^2 + OB^2 — 2 \cdot O_1O \cdot OB \cos \alpha\). Подставляем значения: \(AB^2 = R^2 + R^2 — 2R^2 \cos \alpha = 2R^2(1 — \cos \alpha)\). Заметим, что \(1 — \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}\), значит, \(AB^2 = 4R^2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}\), откуда \(AB = 2R \sin \frac{\alpha}{2}\).

Площадь искомого сечения равна произведению длины \(AB\) на высоту \(OO_1\), так как сечение является прямоугольником. То есть, \(S_{ABCO} = AB \cdot OO_1 = 2R \sin \frac{\alpha}{2} \cdot R \tan \beta\). Получаем окончательную формулу для площади: \(S_{ABCO} = 2R^2 \sin \frac{\alpha}{2} \tan \beta\).