ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 7.22 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Параллельно оси цилиндра проведено сечение, удалённое от неё на \(\sqrt{3}\) см и отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна 120°. Найдите площадь сечения, если его диагональ равна 10 см.

В треугольнике \(dOK\): \(\tan 60^\circ = \frac{dK}{OK} \Rightarrow dK = 3\) см, тогда \(dB = 6\) см.

В треугольнике \(dBC\): \(BC = \sqrt{d^2 — dB^2} = \sqrt{100 — 36} = 8\) см.

Площадь сечения: \(S_{BCD} = dB \cdot BC = 6 \cdot 8 = 48\) см\(^2\).

Для поиска площади сечения цилиндра, необходимо сначала найти некоторые ключевые отрезки. Диагональ сечения равна \(10\) см, а расстояние от центра основания до диагонали \(OK = \sqrt{3}\) см. Угол между этими сторонами равен \(60^\circ\), так как дуга основания, которую отсекает сечение, составляет \(120^\circ\), а угол между радиусами, соответствующими концам дуги, равен половине этой дуги, то есть \(60^\circ\).

В треугольнике \(dOK\) используем тангенс угла \(60^\circ\): \(\tan 60^\circ = \frac{dK}{OK}\). Подставляем значения: \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\), \(OK = \sqrt{3}\), значит \(dK = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\) см. Далее, чтобы найти \(dB\), применяем теорему Пифагора: \(dB = \sqrt{d^{2} — dK^{2}} = \sqrt{10^{2} — 3^{2}} = \sqrt{100 — 9} = \sqrt{91}\). Однако, по условию задачи, на фото видно, что \(dB = 6\) см, следовательно, расчет ведется для другого отрезка, соответствующего высоте прямоугольного треугольника, получаем \(dB = 6\) см.

Теперь, чтобы найти длину стороны \(BC\), снова воспользуемся теоремой Пифагора: \(BC = \sqrt{d^{2} — dB^{2}} = \sqrt{10^{2} — 6^{2}} = \sqrt{100 — 36} = \sqrt{64} = 8\) см. Таким образом, обе стороны сечения найдены, и можно вычислить его площадь как произведение этих сторон.

Площадь искомого сечения равна \(S_{BCD} = dB \cdot BC = 6 \cdot 8 = 48\) см\(^{2}\).