ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 7.25 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Высота цилиндра равна 20 см. Через середину образующей цилиндра проведена прямая, пересекающая отрезок, соединяющий центры оснований, в точке, удалённой на 6 см от плоскости нижнего основания, а саму эту плоскость — в точке, удалённой на 15 см от центра нижнего основания. Найдите радиус основания цилиндра.

Высота цилиндра \(20\) см.
Через середину образующей проведена прямая, пересекающая ось на \(6\) см выше основания, а основание на расстоянии \(15\) см от центра.

Пусть радиус основания \(r\).

Середина образующей: точка \((r, 0, 10)\).
Прямая проходит через эту точку и точку на оси \((0, 0, 6)\).
Параметризация: \(x = r(1 — t)\), \(z = 10 — 4t\).

При \(z = 0\):
\(10 — 4t = 0 \rightarrow t = \frac{10}{4} = 2.5\).

Тогда \(x = r(1 — 2.5) = -1.5r\).

Расстояние от центра основания: \(1.5r = 15 \rightarrow r = 10\) см.

Пусть высота цилиндра равна \(20\) см, а радиус основания равен \(r\). Центры оснований лежат на оси \(z\): нижний центр \((0, 0, 0)\), верхний центр \((0, 0, 20)\). Середина образующей, проходящей через точку на окружности основания, имеет координаты \((r, 0, 10)\). Прямая проходит через эту точку и по условию пересекает ось цилиндра в точке, находящейся на \(6\) см выше нижнего основания, то есть в точке \((0, 0, 6)\).

Запишем параметрическое уравнение прямой, проходящей через точки \((r, 0, 10)\) и \((0, 0, 6)\). Пусть параметр \(t\) определяет положение точки на прямой: для \(t = 0\) получаем точку \((r, 0, 10)\), для \(t = 1\) — точку \((0, 0, 6)\). Тогда координаты точки на прямой выражаются как \(x = r(1 — t)\), \(y = 0\), \(z = 10 — 4t\). Для пересечения с плоскостью нижнего основания \(z = 0\) решаем уравнение \(10 — 4t = 0\), откуда \(t = \frac{10}{4} = 2.5\).

Подставим найденное значение \(t\) в выражение для \(x\): \(x = r(1 — 2.5) = -1.5r\). Это координата точки пересечения прямой с нижним основанием. Расстояние от центра нижнего основания до этой точки составляет \(|x| = 1.5r\). По условию задачи это расстояние равно \(15\) см, поэтому \(1.5r = 15\), откуда находим радиус основания: \(r = \frac{15}{1.5} = 10\) см.

Таким образом, радиус основания цилиндра равен \(10\) см. Все построения и вычисления согласуются с условиями задачи, а параметризация прямой позволяет корректно определить точку пересечения с нижним основанием и вычислить искомый радиус.