ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 7.26 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Развёртка боковой поверхности цилиндра является квадратом. Найдите угол между диагоналями осевого сечения цилиндра.

Задан цилиндр, у которого развёртка боковой поверхности является квадратом, то есть его высота равна длине окружности основания: \(h = 2\pi r\).

Осевое сечение — прямоугольник со сторонами \(h\) и \(2r\). Диагонали этого прямоугольника пересекаются под углом, который равен удвоенному углу между диагональю и большей стороной.

Пусть \(\alpha = \arctan \frac{h}{2r} = \arctan \frac{2\pi r}{2r} = \arctan \pi\).

Угол между диагоналями: \(2 \arctan \frac{1}{\pi}\).

Ответ: \(\angle(AC, BD) = 2 \arctan \frac{1}{\pi}\).

Пусть цилиндр имеет радиус основания \(r\) и высоту \(h\). Развёртка боковой поверхности цилиндра — это прямоугольник со сторонами \(h\) и длиной окружности основания \(2\pi r\). По условию задачи этот прямоугольник является квадратом, значит \(h = 2\pi r\). Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник со сторонами \(h\) (высота цилиндра) и \(2r\) (диаметр основания).

Рассмотрим диагонали этого прямоугольника. Пусть одна диагональ соединяет точки \(A\) и \(C\), а другая — точки \(B\) и \(D\). Вектор диагонали \(AC\) можно записать как \((h, 2r)\), а диагонали \(BD\) — как \((h, -2r)\). Угол между этими диагоналями равен удвоенному углу между диагональю и большей стороной прямоугольника, то есть \(2\alpha\), где \(\alpha = \arctan \frac{2r}{h}\). Подставляя \(h = 2\pi r\), получаем \(\alpha = \arctan \frac{2r}{2\pi r} = \arctan \frac{1}{\pi}\).

Таким образом, угол между диагоналями осевого сечения равен \(2\arctan \frac{1}{\pi}\). Это выражение получается из геометрических соображений, учитывая, что диагонали прямоугольника пересекаются под углом, который определяется отношением его сторон. Формула не зависит от конкретного значения радиуса \(r\), так как он сокращается при подстановке условия квадрата развёртки.

Ответ: \(\angle(AC, BD) = 2 \arctan \frac{1}{\pi}\).