ГДЗ по Геометрии 11 Класс Базовый Уровень Номер 7.27 Мерзляк, Номировский, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Угол между диагональю развёртки боковой поверхности цилиндра и стороной развертки, равной длине окружности основания цилиндра, равен \(\alpha\). Найдите угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания.

Пусть длина окружности основания цилиндра равна \(2\pi R\), высота — \(h\). Диагональ развёртки боковой поверхности — это гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами \(h\) и \(2\pi R\).

Пусть угол между диагональю и основанием развёртки равен \(\alpha\), тогда \(\tan \alpha = \frac{h}{2\pi R}\).

В осевом сечении цилиндра диагональ — это гипотенуза с катетами \(h\) и \(2R\). Искомый угол между этой диагональю и основанием равен \(\arctan(\pi \tan \alpha)\).

Пусть цилиндр имеет основание радиуса \(R\) и высоту \(h\). Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна высоте \(h\), а другая — длине окружности основания, то есть \(2\pi R\). Диагональ этого прямоугольника имеет длину \(\sqrt{h^{2} + (2\pi R)^{2}}\), а угол между этой диагональю и основанием прямоугольника обозначим через \(\alpha\). По определению тангенса: \(\tan \alpha = \frac{h}{2\pi R}\).

При сворачивании прямоугольника в цилиндр диагональ развёртки становится наклонной линией на поверхности цилиндра, соединяющей две противоположные точки на верхнем и нижнем основании. В осевом сечении цилиндра эта диагональ отображается как отрезок, соединяющий две точки на противоположных краях основания. В этом сечении основание цилиндра — это отрезок длины \(2R\), а высота остаётся равной \(h\). Диагональ в сечении будет иметь длину \(\sqrt{h^{2} + (2R)^{2}}\), а угол между диагональю и основанием обозначим через \(\beta\).

Чтобы выразить угол \(\beta\) через \(\alpha\), заметим, что из формулы для тангенса угла в развёртке имеем \(\tan \alpha = \frac{h}{2\pi R}\), а в сечении аналогично \(\tan \beta = \frac{h}{2R}\). Тогда, выразим \(h\) через \(\tan \alpha\): \(h = 2\pi R \tan \alpha\). Подставим это значение в формулу для \(\tan \beta\): \(\tan \beta = \frac{2\pi R \tan \alpha}{2R} = \pi \tan \alpha\). Следовательно, угол между диагональю осевого сечения и основанием равен \(\arctan(\pi \tan \alpha)\).